Contrôle optimal et incitations pour des systèmes décentralisés de type champ moyen

This thesis studies the theoretical resolution and numerical approximation of mean field optimization problems. First, a mean field optimal control with congestion constraints is formulated, modeling the optimal charging of a large fleet of electrical vehicles. Optimality conditions are identified as a system of coupled partial differential equations, similarly to those obtained in mean field games. The problem is numerically solved by a primal-dual algorithm. A first result on the regularity of the solutions is exploited to characterize the problem as the mean field limit of an optimal control problem with a large number of vehicles. The Lagrange multipliers of the congestion constraint are proved to be bounded. This result enables to obtain a better regularity of Lipschitz type of the solutions and to numerically approximate the dual problem. Secondly, an approximation method and a numerical method for a high dimensional convex stochastic control problem are developed. A distributed algorithm is proposed, whose convergence to a solution is proved. Finally, the method and the algorithm are analyzed and applied to a control problem of piecewise deterministic Markov processes, a formulation that is equivalent to the mean field control problem introduced in the first part.Cette thèse traite la résolution théorique et numérique de problèmes d'optimisation de type champ moyen. Un premier problème de contrôle champ moyen est formulé, avec contrainte de congestion, modélisant le chargement optimal d'une grande flotte de véhicules électriques. Les conditions d'optimalités sont identifiées comme un système d'équations aux dérivées partielles couplées, similairement à ceux obtenus dans les jeux à champ moyen. Le problème est résolu numériquement par un algorithme primal-dual. Un premier résultat sur la régularité des solutions est exploité pour caractériser le problème comme la limite d'un problème de contrôle avec grand nombre de véhicules. Les multiplicateurs de Lagrange associés à la contrainte de congestion sont bornés, permettant d'obtenir une meilleure régularité, de type Lipschitz, des solutions et d'approximer numériquement le problème dual. Dans un second temps, une méthode d'approximation et de résolution numérique d'un problème de contrôle stochastique convexe de grande dimension est développée. Un algorithme d'optimisation distribué est proposé et la convergence vers une solution du problème est démontrée. La méthode et l'algorithme sont étudiés et appliqués à un problème de contrôle de processus markoviens déterministes par morceaux, une formulation équivalente au problème de contrôle champ moyen étudié en première partie