Combinatoire géométrique des chemins et des déformations des polytopes convexes

The main objects of the present manuscript are polytopes: a polytope is defined as the convex hull of finitely many points in the Euclidean space R^d. As such, polytopes are the generalization of polygons and polyhedra to higher dimensions. In this thesis, I will try to unveil some links between the geometric aspects of polytopes and their combinatorial behaviors. Two concepts will be at the center of this polytopal journey: generalized permutahedra and linear programs. The first notion arises from the systematic research of the combinatorial properties of polytopes, which have played a great role in the development of the field since their (re)popularization during the 20th century. Polytopes naturally come with various combinatorial properties: foremost, one can try to understand their faces (which are themselves polytopes), and how its faces are included one in another, leading to the definition of the face lattice of a polytopes. If exploring the face lattice of a polytope is already fascinating, the reverse question turns out to be even more fecund: given a combinatorial structure, how to construct a polytope to embody it? An epitome of such quest is surely the construction of the permutahedron. Discovered by Schoute in 1911, the vertices of the permutahedron are in one-to-one correspondence with the permutations. Moreover, the faces of it can be labelled by the ordered partitions, while its (oriented) graph naturally describes the Bruhat order on permutations. But this is only the tip of the iceberg: the permutahedron can be deformed to create generalized permutahedra. Originally defined by Edmonds under the name polymatroids, their rediscovery by Postnikov in 2009 was the starting point of a myriad of researches. In particular, various combinatorial families can be encapsulated in the combinatorics of certain generalized permutahedra. On the other side, linear programming delve into the geometrical aspects of polytopes. Optimization is known for being a supremely useful but notably difficult theory, and linear optimization encompasses the optimization problems in which both the constraints and the quantity to optimize are linear in the involved variables. There are several methods to solve a linear problem, among which some are known to be of polynomial complexity, but the original method, which is still of prime importance, is the simplex method, whose complexity class is not fully understood for now. The simplex method can be thought of as the counterpart of the Gaussian elimination, but when dealing with linear inequalities (and a linear functional to optimize). In broad, the key idea is to consider the set of solutions of your system of inequalities as a polytope (or an unbounded polyhedra), and to jump from one vertex onto one of its neighbor, increasing the value of the linear functional at each step. Nevertheless, one needs to set up a rule on how to choose the neighbor to jump onto: this is the pivot rule. Pivot rules and how to elect the right one have been written about extensively, and we certainly do not intend to fully answer this question here. In this manuscript, we study on the one hand generalized permutahedra and the submodular cone, and on the other hand max-slope pivot rule polytopes and fiber polytopes. Although the domains undeniably interact all along the present thesis, ideas coming from one side being steadily applied to the other, the pre-eminent result creating a neat bridge between these two realm is Section 3.3: we state that the combinatorial behavior of the class of shadow vertex rules can be handled more easily by embedding the question inside the realm of generalized permutahedra. We hope that such a new insight may open the way to a better understanding of (memory-less) pivot rules.Les principaux objets du présent manuscrit sont les polytopes : un polytope est l'enveloppe convexe d'un nombre fini de points dans l'espace euclidien R^d. Les polytopes sont la généralisation des polygones et des polyèdres en dimensions supérieures. Dans cette thèse, je tente de mettre en lumière des liens entre les aspects géométriques des polytopes et leurs propriétés combinatoires. Deux concepts sont au cœur de ce voyage polytopal : les permutaèdres généralisés et les programmes linéaires. La première notion découle d'une étude systématique de la combinatoire des polytopes, qui a joué un rôle majeur dans le développement du domaine depuis depuis qu'ils ont été remis sur le devant de la scène au XXe siècle. Les polytopes sont naturellement dotés de propriétés combinatoires : premièrement, on peut essayer de comprendre leurs faces (elles-mêmes des polytopes) et comment leurs faces sont incluses les unes dans les autres. Cela mène à la définition du treillis des faces d'un polytope. Si explorer le treillis des faces d'un polytope est déjà fascinant, la question inverse se révèle encore plus féconde : étant donné une structure combinatoire, comment construire un polytope pour l'incarner ? Un exemple emblématique d'une telle quête est la construction du permutaèdre. Découvert par Schoute en 1911, les sommets du permutaèdre sont en bijection avec les permutations. De plus, ses faces peuvent être étiquetées par les partitions ordonnées, tandis que son graphe (orienté) décrit l'ordre de Bruhat sur les permutations. Cela n'est que la partie émergée de l'iceberg : le permutaèdre peut être déformé pour créer les permutaèdres généralisés. Initialement définis par Edmonds sous le nom de polymatoïdes, leur redécouverte par Postnikov en 2009 a été le point de départ d'une myriade de recherches. En particulier, diverses familles combinatoires peuvent être encapsulées dans la combinatoire de certains permutaèdres généralisés. D'autre part, la programmation linéaire se penche sur les aspects géométriques des polytopes. L'optimisation est connue pour être une théorie extrêmement utile mais notablement difficile, et l'optimisation linéaire englobe les problèmes d'optimisation dans lesquels à la fois les contraintes et la quantité à optimiser sont linéaires par rapport aux variables impliquées. Il existe plusieurs méthodes pour résoudre un problème linéaire, parmi lesquelles certaines ont une complexité polynomiale ; mais la méthode originale, qui reste d'une importance primordiale, est la méthode du simplexe, dont la classe de complexité n'est pas encore pleinement comprise. On peut penser la méthode du simplexe comme l'équivalent de l'élimination gaussienne pour les systèmes d'inégalités linéaires. L'idée clé est de considérer l'ensemble des solutions du système d'inégalités comme un polytope (ou un polyèdre non borné) et de passer d'un sommet à l'un de ses voisins en augmentant la valeur de la fonctionnelle linéaire à chaque étape. Néanmoins, il faut se munir d'une règle indiquant de quelle manière choisir le voisin suivant : c'est la règle de pivot. Le choix d'une bonne règle de pivot a été abondamment étudié, et nous n'avons pas l'intention d'y répondre extensivement ici. Dans ce manuscrit, nous étudions d'une part les permutaèdres généralisés et le cône sous-modulaire, et d'autre part les polytopes de pivot et les polytopes de fibres. Bien que ces domaines interagissent indéniablement tout au long de la présente thèse, les idées venant d'un côté étant constamment appliquées à l'autre, le résultat prééminent créant un pont entre ces deux domaines est la Section 3.3 : nous montrons que le comportement combinatoire de la classe des "shadow vertex rules" peut être comprise plus aisément en interprétant la question dans le domaine des permutaèdres généralisés. Nous espérons qu'une telle nouvelle perspective puisse ouvrir la voie à une meilleure compréhension des règles de pivot