Évaluation efficace de fonctions numériques - Outils et exemples

With computers, it is possible to evaluate some numerical functions such as f = exp, sin, arccos, etc. The purpose of this thesis is to study how these functions can be implemented. Depending on the target architecture (software or hardware, small or high accuracy required), different problems must be addressed, but the final goal is always to eventually obtain an implementation as efficient as possible. We first study with an example the problems that arise in the case when the precision is arbitrary. When, on the contrary, the precision is known in advance, the function f is often replaced by an approximation polynomial p. Such a polynomial can then be very efficiently evaluated. In practice, the coefficients of p must be representable on a given finite number of bits. We propose several algorithms (some of them are heuristic and others are rigorous) for finding very good approximation polynomials satisfying this constraint. Our results also apply in the case when the approximant is a rational fraction. Once p has been found, one must prove that the error |p-f| is not greater than a given bound. The particular form of the function p-f (subtraction between two very close functions) makes this property hard to rigorously prove. We propose an algorithm for overcoming this difficulty. All these algorithms have been integrated into a software tool called Sollya, developed during the thesis. In the beginning, it was created for making the implementation of functions easier. Now, it may be interesting for anyone who needs to perform numerical computations in a safe environment.Les systèmes informatiques permettent d'évaluer des fonctions numériques telles que f = exp, sin, arccos, etc. Cette thèse s'intéresse au processus d'implémentation de ces fonctions. Suivant la cible visée (logiciel ou matériel, faible ou grande précision), les problèmes qui se posent sont différents, mais l'objectif est toujours d'obtenir l'implémentation la plus efficace possible. Nous étudions d'abord, à travers un exemple, les problèmes qui se posent dans le cas où la précision est arbitraire. Lorsque, à l'inverse, la précision est connue d'avance, la fonction f est souvent remplacée par un polynôme d'approximation p. Un tel polynôme peut ensuite être évalué très efficacement en machine. En pratique, les coefficients de p doivent être représentables sur un nombre fini donné de bits. Nous proposons un ensemble d'algorithmes (certains sont heuristiques, d'autres rigoureux) pour trouver de très bons polynômes d'approximation répondant à cette contrainte. Ces résultats s'étendent au cas où la fonction d'approximation est une fraction rationnelle. Une fois p trouvé, il faut prouver que l'erreur |p-f| n'excède pas un certain seuil. La nature particulière de la fonction p-f (soustraction de deux fonctions très proches) rend cette propriété difficile à prouver rigoureusement. Nous proposons un algorithme capable de contourner cette difficulté. Tous ces algorithmes ont été intégrés au logiciel Sollya, développé pendant la thèse. À l'origine conçu pour faciliter l'implémentation de fonctions, ce logiciel s'adresse à présent à toute personne souhaitant faire des calculs numériques dans un cadre complètement fiable