Modular forms and elliptic curves

En 1957 los matemáticos japoneses Y. Taniyama y G. Shimura plantearon, sin demostrar, un resultado que relacionaba las formas modulares con las curvas elípticas, dos objetos matemáticos a priori inconexos. Gracias al trabajo de A. Weil, se establecieron las bases que respaldaban la posible validez de la denominada conjetura de Taniyama-Shimura-Weil, conocida actualmente como el teorema de la modularidad. Este trabajo se centra en comprender de manera precisa todos los elementos que intervienen en el enunciado de dicho teorema. Con este propósito, se estudiarán las formas modulares que son funciones meromorfas en el semiplano superior complejo que cumplen una cierta condición de regularidad. En segundo lugar, se presentarán los toros complejos y las curvas elípticas y se detallará la relación que existe entre ambas nociones. Por último, se introducirán las curvas modulares, las dotaremos de una topología y de una estructura de superficie de Riemann y mostraremos cómo se pueden compactificar. Empleando estos elementos, se enunciará la versión analítico-compleja del teorema de la modularidad.In 1957 the Japanese mathematicians Y. Taniyama and G. Shimura formulated, without proving it, a result that connected modular forms with elliptic curves, two a priori unrelated mathematical objects. Thanks to the work of A. Weil, the foundations supporting the possible validity of the so-called Taniyama-Shimura- Weil conjecture, now known as the modularity theorem, were established. This work focuses on understanding precisely all the elements involved in the statement of this theorem. For this purpose, modular forms which are meromorphic functions in the complex upper halfplane satisfying a certain regularity condition will be studied. Secondly, complex tori and elliptic curves will be presented and the relationship between both notions will be detailed. Finally, modular curves will be introduced, we will endow them with a topology and a Riemann surface structure and show how they can be compactified. Using these elements, the analytic-complex version of the modularity theorem will be stated.Grado en Matemática