: Resolving problems involving proof and demonstration: a difficulty for primary and secondary school teachers

http://www.icmes2009.pucpr.br/index.phpInternational audienceIn the last decade, the importance attributed to proofs and demonstrations in Mathematics has led to a large variety of research in this area. We consider, generally, the demonstration as a validation procedure that characterizes Mathematics and distinguishes it from experimental sciences. We are part of a research group that develops a project together with teachers from the public and private school systems in the city of São Paulo and that, in its initial phase, discussed deductive reasoning in the process of teaching and learning Mathematics in the Middle School grades. This project provides continuing education for teachers concerned with their pedagogical practices and who would like to increment them, rethinking knowledge or even coming into contact with mathematics topics for the first time. In this work, we initially raise some theoretical questions that are related to demonstrations and that seek to better understand logical reasoning. We next present a case study, in a qualitative approach, in which we observe a teacher's difficulties in identifying the hypothesis and thesis of a mathematical affirmation in the area of geometry, especially when it does not present the famous expression "if and only if." We also discuss the issue of whether or not a proposition corresponds to a reciprocal theorem. Comprehension of the information given in the problem statement of a mathematics proposition and recognition of crucial elements such as hypothesis and thesis are fundamental to the process of constructing an acceptable demonstration.Na última década, a importância atribuída a provas e demonstrações em Matemática levou a uma enorme variedade de pesquisas nessa área. Consideramos, usualmente, a demonstração como um procedimento de validação que caracteriza a Matemática e a distingue das ciências experimentais. Fazemos parte de um grupo de pesquisa que desenvolve um projeto junto a professores da rede pública e particular da cidade de São Paulo e que discutiu, na sua fase inicial, o raciocínio dedutivo no processo de ensino e aprendizagem da Matemática nas séries finais do Ensino Fundamental. Esse projeto realiza uma formação continuada para professores preocupados com a sua prática pedagógica e que gostariam de incrementá-la, repensando saberes ou até mesmo entrando em contato com conteúdos matemáticos pela primeira vez. Nesse trabalho, inicialmente, levantamos algumas questões teóricas relacionadas à demonstração e que procuram compreender melhor o raciocínio lógico. Em seguida, apresentamos um estudo de caso, na abordagem qualitativa, em que observamos as dificuldades de um professor do ensino básico em identificar a hipótese e a tese em uma afirmação matemática da área de geometria, especialmente, quando essa não apresenta a famosa expressão "se e somen uma proposição corresponder ou não a um teorema recíproco. A compreensão da informação dada no enunciado de uma proposição matemática e o reconhecimento de elementos cruciais como hipótese e tese são fundamentais para o processo de construção de uma demonstração aceitável