Optimisation Riemannienne pour l'apprentissage de graphes structurés

This paper proposes an algorithmic framework for graph learning through sparse precision matrix estimation under low-rank structural constraints on the covariance matrix. The problem is expressed as penalized maximum likelihood estimation of an elliptical distribution (a generalization of Gaussian graphical models to possibly heavy-tailed distributions), where the covariance matrix is optionally constrained to be structured as low-rank plus diagonal (low-rank factor model). The resolution of this class of problems is then tackled with Riemannian optimization, where we leverage geometries of positive definite matrices and positive semi-definite matrices of fixed rank that are well suited to elliptical models.Cet article propose un cadre algorithmique pour l'apprentissage de graphes au travers de l'estimation de matrices de précision parcimonieuses sous des contraintes de structure rang faible sur la matrice de covariance. Le problème est exprimé comme une estimation pénalisée du maximum de vraisemblance d'une distribution elliptique (une généralisation des modèles graphiques gaussiens aux distributions à queue lourde), où la matrice de covariance est optionnellement contrainte à avoir une structure rang faible plus diagonale. La résolution de cette classe de problèmes est ensuite abordée via une méthode d'optimisation riemannienne, où nous tirons parti de géométries des matrices définies positives et des matrices semi-définies positives de rang fixe qui sont bien adaptées aux modèles elliptiques