Modèles algébriques et topologiques des systèmes dirigées : Une étude des dimensions du calcul par des méthodes algébriques, catégoriques et homotopiques

Cette thèse consiste en plusieurs approches mathématiques au calcul. Ce concept est fondamental pour les mathématiques et l'informatique. Pourtant, il y a une distinction naturelle à faire entre les mécanismes du calcul, et un calcul concrète. Dans le premier point de vue, le calcul est un processus constructif qui transforme une (ou plusieurs) entrée(s) en une (ou plusieurs) sortie(s), alors que le deuxième est l'acte de calculer dans un contexte bien défini. Tout calcul concret est une instantiation concrète des principes abstraits du calcul.Les mécanismes par lesquels les calculs ont lieu a une interêt générale. C'est en effet possible de déterminer si une calcul, dans un contexte spécifique, fournit une réponse unique par l'étude du système abstrait de calcul le sous-tendant. Le calcul concret est donc basé sur l'étude du calcul en tant que processus abstrait dirigé. Par ailleurs, le calcul se prête à une multitude d'interprétations : tout système dirigé peut être interprété comme un système de calcul.Outre de fournir un moyen de distinguer des observations ou des concepts, un autre atout du calcul est sa nature constructive. L'étude du calcul d'un point de vue mathématique, à l'aide d'outils issus de la théorie des catégories supérieures ou de la topologie algébrique, se situe à l'interface passionnante entre l'informatique, les mathématiques constructives et d'autres cadres mathématiques classiques.En général, il existe de nombreuses façons de réduire un objet à un autre dans un système de calcul. Cette ambiguïté du calcul peut être abordée de plusieurs manières. Ici, nous en distinguons deux : d'une part, nous pouvons les considérer comme des choix, et d'autre part, nous pouvons choisir de les considérer comme des calculs simultanés. Cette distinction idéologique nous amène aux domaines de la réécriture abstraite, de la réécriture des mots et de la théorie de la normalisation dans le premier cas, et de la théorie de la concurrence, des systèmes d'entrelacement et des problèmes de consensus dans le second.La théorie de la réécriture aborde l'ambiguïté du calcul comme un problème de choix. Ce problème est résolu d'abord en considérant des propriétés de consistence, qui expriment que le système de calcul est consistent avec une notion ambiante d'équivalence. Ces propriétés sont liés à des notions de connexité et de contractibilité dirigée en dimension zéro. Les propriétés de cohérence poussent cette étude du choix aux dimensions supérieures, et aboutissent à des méthodes constructives pour produire des systèmes de calcul véritablement libres.Dans la théorie de la concurrence, le calcul est considéré autrement. Au lieu de représenter un calcul par un chemin à travers un espace de choix possibles, la théorie de la concurrence aborde le problème de la coordination de plusieurs processus distincts, chacun représentant un calcul concret. De tels systèmes de calcul simultané sont décrits par des espaces dits dirigés. Comme en topologie classique, des invariants algébriques sont utilisés pour caractériser, ainsi que pour comprendre leurs propriétés.Cette thèse étudie ces domaines d'un point de vue algébrique, topologique et catégorique. Dans le cas de la réécriture, nous introduisons une nouvelle structure algébrique, à savoir l'algèbre de Kleene de dimension supérieure, ce qui fournit un contexte naturel pour la formalisation des propriétés de cohérence. Nous donnons une formulation formelle du théorème de cohérence pour les systèmes de réécriture abstraits. Ceci constitue un premier pas vers la formalisation des contrôles de cohérence dans l'algèbre catégorique. Dans le domaine de la concurrence, nous affinons les invariants algébriques associés aux espaces dirigés, d'abord en résolvant le problème du retournement temporel pour l'homotopie naturelle et l'homologie naturelle, puis en établissant un lien entre cette dernière et la théorie de la persistance.This thesis consists in several mathematical approaches to calculation and computation. These concepts, central to mathematics and computer science, are often confounded. However, there is a natural distinction to be made between the two. Indeed, calculation is a constructive process which transforms one (or more) inputs into one (or more) outputs, while computation is the act of calculating in some well-defined context. In other words, computation is a concrete instantiation of the abstract principles of calculation.The mechanisms by which computations take place are governed by the maxims of calculation. Indeed, determining whether computation in some context provides, for any specified input, a unique answer, can be determined by studying the abstract system of calculation underlying the computations. The study of calculation as an abstract directed process therefore underlies computation, a fundamental tool of science. Moreover, calculation has a wide range of interpretation: any directed system could be interpreted as some form of calculatory process.Alongside providing a means of distinguishing or rendering certain observations or concepts equivalent, another boon of calculation is its constructive nature. Approaching abstract calculation from a mathematical point of view, using tools from higher category theory or algebraic topology, lies on the exciting interface between computer science, constructive mathematics, and other classical mathematical frameworks.In general, there are many ways one can reduce an object to another in a system of calculation. This ambiguity in calculation and thereby computation can be approached in many ways. Here, we distinguish two: on the one hand, we can view these as choices in the way we calculate, and on the other, we may choose to view them as simultaneous calculations. This ideological distinction brings us to the domains of abstract rewriting, string rewriting and normalisation theory in the first case, and concurrency theory, interleaving systems and consensus problems in the second.Rewriting theory approaches the ambiguity of multiple possible reductions as a problem of choice. This is resolved first by considering what we will refer to as consistency properties, which express that the system of calculation is consistent with an ambient notion of equivalence. These properties express directed connectedness and zero-dimensional contractibility properties and are expressed in the context of abstract rewriting systems. Coherence properties push this study of choice to higher dimensions, providing constructive methods for producing truly free systems of calculation.In concurrency theory, calculation is considered in a different manner. Instead of a calculation being represented by a single path through a space of possible choices, concurrency theory tackles the problem of coordinating several distinct (deterministic) processes, each representing a concrete (linear) computation. Such systems of simultaneous calculation may be described by so-called directed spaces. As in classical topology, algebraic invariants are used to characterise, as well as understand properties of, such spaces.This thesis examines these domains from topological and categorical points of view. In the case of rewriting theory, we introduce a novel algebraic structure, namely higher Kleene algebra, which formalises higher systems of calculation. We provide a formal formulation of the coherence theorem for abstract rewriting systems. This provides a first step towards formalising coherence checks in categorical algebra. In the domain of concurrency, we refine the algebraic invariants associated to directed spaces, first by solving the problem of time-reversal for natural homotopy and natural homotopy, and then by establishing a link between the latter and persistence theory