Probabilistic methods for estimating failure probabilities

Pour évaluer la rentabilité d'une production en amont du lancement du processus de fabrication, la plupart des entreprises industrielles ont recours à la simulation numérique. Cela permet de tester virtuellement plusieurs configurations des paramètres d'un produit donné et de statuer quant à ses performances (i.e. les spécifications imposées par le cahier des charges). Afin de mesurer l'impact des fluctuations des procédés industriels sur les performances du produit, nous nous intéressons en particulier à l'estimation de sa probabilité de défaillance. Chaque simulation exigeant l'exécution d'un code de calcul complexe et coûteux, il n'est pas possible d'effectuer un nombre de tests suffisant pour estimer cette probabilité via, par exemple, une méthode Monte-Carlo. Sous la contrainte d'un nombre limité d'appels au code, nous proposons deux méthodes d'estimation très différentes.La première s'appuie sur les principes de l'estimation bayésienne. Nos observations sont les résultats de simulation numérique. La probabilité de défaillance est vue comme une variable aléatoire, dont la construction repose sur celle d'un processus aléatoire destiné à modéliser le code de calcul coûteux. Pour définir correctement ce modèle, on utilise la méthode de krigeage. Conditionnellement aux observations, la loi a posteriori de la variable aléatoire, qui modélise la probabilité de défaillance, est inaccessible. Pour apprendre sur cette loi, nous construisons des approximations des caractéristiques suivantes: espérance, variance, quantiles..On utilise pour cela la théorie des ordres stochastiques pour la comparaison de variables aléatoires et, plus particulièrement, l'ordre convexe.La construction d'un plan d'expériences optimal est assurée par la mise en place d'une procédure de planification d'expériences séquentielle, basée sur le principe des stratégies SUR. La seconde méthode est une procédure itérative, particulièrement adaptée au cas où la probabilité de défaillance est très petite, i.e. l’événement redouté est rare. Le code de calcul coûteux est représenté par une fonction que l'on suppose lipschitzienne. `A chaque itération, cette hypothèse est utilisée pour construire des approximations, par défaut et par excès, de la probabilité de défaillance. Nous montrons que ces approximations convergent vers la valeur vraie avec le nombre d'itérations. En pratique, on les estime grâce à la méthode Monte-Carlo dite de "splitting".Les méthodes que l'on propose sont relativement simples à mettre en oeuvre et les résultats qu'elles fournissent peuvent être interprétés sans difficulté. Nous les testons sur divers exemples, ainsi que sur un cas réel provenant de la société STMicroelectronics.To evaluate the profitability of a production before the launch of the manufacturing process, most industrial companies use numerical simulation. This allows to test virtually several configurations of the parameters of a given product and to decide on its performance (i.e. the specifications imposed by the specifications). In order to measure the impact of industrial process fluctuations on product performance, we are particularly interested in estimating the probability of failure of the product. Since each simulation requires the execution of a complex and expensive calculation code, it is not possible to perform a sufficient number of tests to estimate this probability using, for example, a Monte-Carlo method.We are developing estimation methods, which must be robust despite the limited number of observations available through numerical simulation. Under the constraint of a limited number of code calls, we propose two very different estimation methods.medskip The first is based on the principles of Bayesian estimation. Our observations are the results of numerical simulation. The probability of failure is seen as a random variable, the construction of which is based on that of a random process to model the expensive calculation code. To correctly define this model, the kriging method is used. Conditional on observations, the posterior distribution of the random variable, which models the probability of failure, is inaccessible. To learn about this distribution, we construct approximations of the following characteristics: expectation, variance, quantiles... We use the theory of stochastic orders to compare random variables and, more specifically, the convex order.The construction of an optimal experimental design is ensured by the implementation of a sequential experimental planning procedure, based on the principle of SUR strategies.The second method is an iterative procedure, particularly adapted to the case where the probability of failure is very small, i.e. the redoubt event is rare. The expensive calculation code is represented by a function that is assumed to be Lipschitz continuous. At each iteration, this hypothesis is used to construct approximations, by default and by excess, of the probability of failure. We show that these approximations converge towards the true value with the number of iterations. In practice, they are estimated using the Monte-Carlo method known as splitting method. The proposed methods are relatively simple to implement and the results they provide can be easily interpreted. We test them on various examples, as well as on a real case from STMicroelectronics