Sur des propriétés de certains modèles en mécanique des fluides près d'une surface

The first part of the thesis is devoted to the study of the Navier-Stokes-α 2D flows in a very thin infinite strip, and the second part to the study of boundary layer problem for the Ostwald model of non-Newtonian fluids for which, the stress tensor does not linearly depend on the deformation tensor.In the first part, we first proved the global well-posedness of the hydrostatic limit system for small analytic data and then the global well-posedness of the Navier-Stokes alpha system in very thin strips of width ε for small analytic data. Finally, we proved the convergence to the limit system when ε → 0. The main idea for the proof of the previous results is the control of the unknown function ũ = exp((a−λθ(t))|Dx|)u, which is equivalent to the control of the solution u in analytic spaces in the x variable. The analyticity radius a−λθ(t) of the solution is expected to decrease in time but the auxiliary function a−λθ(t) provides a lower bound of the analytical bandwidth. This lower bound away from zero yields the global existence of analytical solutions.For the second part, we study a non-Newtonian Prandtl system which possesses a nonlinear diffusion term. The difficulty here lies in the fact that the associate parabolic problem is degenerate: it lacks a second derivative in the Laplacian operator. We first add a small smoothing term and then study the singular limit of the obtain regularized solutions when the smoothing term tends to zero. We emphasize that the full 2D problem is still open in Sobolev setting and so in the first step, we consider the associate 1D shear flow system. Using a smoothing process, a fixed point argument and the maximum principle, we prove the existence of solutions for the model in the Hölder space C^{1,2+α}([0, T ] × R). We remark that this solution enjoy good decay properties when y tends to infinity, which enables the use of Masmoudi-Wong’s method (Comm. Pure Appl. Math. 2015) to prove the well-posedness of the shear flow system in Sobolev settings. We remark that both the maximum principle and the Masmoudi-Wong’s method do not work directly to the full 2D system due to the lack of good understanding of the nonlinear diffusion term. However, we still can prove a priori energy-type estimates for the full 2D system in appropriate weighted Sobolev spaces. Our forthcoming work wil then focus on finding a way to exploit these estimates.La première partie de la thèse est consacrée à l’étude d’écoulements 2D Navier-Stokes-α dans une bande infinie très mince, et la deuxième partie à l’étude du problème de la couche limite pour le modèle d’Ostwald pour des fluides non newtoniens pour lesquels le tenseur des contraintes ne dépend pas linéairement du tenseur des déformations.Dans la première partie, nous montrons d’abord que le problème de Cauchy pour le système de la limite hydrostatique est globalement bien posé pour de petites données analytiques. Puis de même pour le problème de Cauchy du système α-Navier-Stokes dans une bande très mince de largeur ε pour de petites données analytiques. Enfin, nous prouvons la convergence vers le système limite lorsque ε → 0. L’idée principale de la preuve des résultats précédents passe par le contrôle de la fonction inconnue ũ = exp((a−λθ(t))|Dx|)u, qui est équivalente au contrôle de la solution u dans les espaces analytiques dans la variable x. On s’attend à ce que le rayon d’analyticité a−λθ(t) de la solution diminue avec le temps mais la fonction auxiliaire a−λθ(t) fournit une borne inférieure dans la bande passante analytique. Cette borne inférieure loin de zéro donne l’existence globale de solutions analytiques.Dans un deuxième temps, nous étudions un système de Prandtl non newtonien qui possède un terme de diffusion non linéaire. La difficulté réside ici dans le fait que le problème parabolique associé est dégénéré : il manque une dérivée seconde dans l’opérateur laplacien. Nous ajoutons d’abord un petit terme de diffusion puis nous étudions la limite singulière des solutions régularisées obtenues lorsque le terme de diffusion tend vers zéro. Nous soulignons que le problème 2D complet est toujours ouvert dans le cadre des espaces de Sobolev et donc dans la première étape, nous considérons le système d’écoulement 1D associé (”shear flow”). En utilisant une technique de régularisation, un argument de point fixe et le principe du maximum, nous montrons l’existence de solutions dans l’espace de Hölder C^{1,2+α}([0, T ] × R). Nous remarquons que cette solution possède de bonnes propriétés de décroissance lorsque y tend vers l’infini, ce qui permet d’utiliser la méthode de Masmoudi-Wong (Comm. Pure Appl. Math. 2015) pour montrer que le problème dit de ”shear flow” est bien posé dans les espaces de Sobolev. Nous remarquons que le principe du maximum et la méthode de Masmoudi-Wong ne fonctionnent pas directement sur le système 2D complet en raison du manque de bonne compréhension du terme de diffusion non linéaire. Cependant, nous pouvons toujours prouver des estimations de type d’énergie a priori pour le système 2D complet dans des espaces de Sobolev pondérés appropriés. Nos prochains travaux se concentreront ensuite sur la recherche d’un moyen d’exploiter ces estimations