Conjecture de Schinzel et algorithmique des polynômes lacunaires

In diophantine geometry, the theory of unlikely intersections is a constantly evolving field. Inthis context, significant progress has been made by several authors, including E. Bombieri, P. Habegger,D. Masser, G. Rémond, and U. Zannier, on the intersection of varieties in the torus Gnm. More specifically,they have solved Schinzel’s conjecture on the intersection of a variety of codimension superior or equal 2 in Gnm witha translate a torus of dimension 1 by a torsion point. This conjecture has now been proven usingvarious methods, but the bounds obtained in the proofs are not explicit, although they are effective.This thesis aims to make these bounds explicit and to apply the obtained result to develop an algorithmfor computing the greatest common divisor (GCD) of two sparse polynomials. Firstly, we obtain anexplicit version of this conjecture for the case n = 2. Secondly, for the case n = 3, we describe threedifferent approaches, one inspired by A. Schinzel’s proof, another inspired by the proof of E. Bombieri,D. Masser, and U. Zannier, and the last one based on a new approach. The obtained results are allexplicit. Thirdly, for arbitrary n, we generalize the new approach from the case n = 3 and obtain anexplicit bound in terms of the degree and height of the variety, but without explicit dependence on n.These different approaches rely on an arithmetic Bézout type bound and on Dobrowolski’s theorem.The obtained results lead to an algorithm for computing the non-cyclotomic part of the GCD of twounivariate polynomials, which are specializations of two polynomials in two or three variables. We givethe complexity of this algorithm and implement some algorithms related to multivariate polynomialsand subvarieties of Gnm in the computer algebra system Pari/GP.En géométrie diophantienne, la théorie des intersections improbables est un domaine en constante évolution. Dans ce contexte, des progrès significatifs ont été réalisés par plusieurs auteurs, dont E. Bombieri, P. Habegger, D. Masser, G. Rémond et U. Zannier, en ce qui concerne l'intersection des variétés dans une puissance GNM du tore multiplicatif . Plus particulièrement, ils ont résolu la conjecture de Schinzel qui concerne l'intersection d'une variété de codimension supérieur ou égal à 2 au moins dans dans Gmn avec un translaté d'un tore de dimension 1 par un point de torsion. Cette conjecture est désormais prouvée avec plusieurs méthodes mais les bornes obtenues dans les preuves ne sont pas explicites, bien qu'elles soient effectives.L'objectif de cette thèse est d'expliciter ces bornes et d'appliquer le résultat obtenu pour rendre effectif un algorithme pour le calcul du plus grand commun diviseur (PGCD) de deux polynômes lacunaires. Premièrement, pour le cas n=2, nous obtenons une version explicite de cette conjecture. Deuxièmement, pour le cas n=3, nous décrivons trois différentes approches dont l'une est inspirée de la preuve de A. Schinzel, une autre inspirée de la preuve E. Bombieri, D. Masser et U. Zannier et la dernière basée sur une nouvelle approche. Les résultats obtenus sont également explicites. Troisièmement, pour n quelconque, nous avons généralisé la nouvelle approche du cas n=3 et nous obtenons une borne explicite en fonction du degré et de la hauteur de la variété, mais sans la dépendance explicite en n. Ces différentes approches reposent sur l'utilisation d'une majoration de type Bézout arithmétique et d'un théorème de Dobrowolski sur la conjecture de Lehmer. Les résultats obtenus ont permis d'obtenir un algorithme qui permet de calculer la partie non-cyclotomique du PGCD de deux polynômes à une variable, qui sont des spécialisations de deux polynômes à deux ou trois variables. Nous donnons une analyse de la complexité de cet algorithme et nous avons également réalisé des implémentations relatives aux polynômes multivariés et aux sous-variétés de Gmn dans le langage de calcul formel Pari/GP