Approximation, réalisation numérique et l'analyse qualitative des problèmes de contact avec frottement

Tato práce se zabývá teoretickou analýzou a numerickou realizací diskretizovaných kontaktních úloh s Coulombovým třením. Nejprve je pomocí pevněbodového přístupu provedena analýza diskretizovaných 3D statických kontaktních úloh s izotropním a ortotropním Coulombovým třením a koeficienty tření závislými na řešení. Existence alespoň jednoho řešení je dokázána pro koeficienty tření reprezentované omezenými kladnými spojitými funkcemi. Pokud jsou tyto funkce navíc lipschitzovsky spojité a horní meze jejich hodnot spolu s jejich moduly lipschitzovskosti jsou dostatečně malé, je zaručena jednoznačnost tohoto řešení. Dále jsou v případě 2D statických kontaktních úloh s izotropním Coulombovým třením a koeficientem nezávislým na řešení studovány vlastnosti řešení parametrizovaných koeficientem tření nebo vektorem zatížení. S pomocí dvou variant věty o implicitních funkcích jsou ustaveny podmímky, za nichž existuje lokální lipschitzovská větev řešení na okolí daného referenčního bodu. Následně je navržen algoritmus po částech hladké kontinuace, který nám umožňuje sledovat takové větve řešení numericky. Na závěr je uvedena dobře formulovaná prostorová semidiskretizace dynamických kontaktních úloh s izotropním Coulombovým třením, kde koeficient nezávisí na řešení.This thesis deals with theoretical analysis and numerical realization of discretized contact problems with Coulomb friction. First, discretized 3D static contact problems with isotropic and orthotropic Coulomb friction and solution-dependent coefficients of friction are analyzed by means of the fixed-point approach. Existence of at least one solution is established for coefficients of friction represented by positive, bounded and continuous functions. If these functions are in addition Lipschitz continuous and upper bounds of their values together with their Lipschitz moduli are sufficiently small, uniqueness of the solution is guaranteed. Second, properties of solutions parametrized by the coefficient of friction or the load vector are studied in the case of discrete 2D static contact problems with isotropic Coulomb friction and coefficient independent of the solution. Conditions under which there exists a local Lipschitz continuous branch of solutions around a given reference point are established due to two variants of the implicit-function theorem. Consequently, a piecewise smooth continuation algorithm, which enables us to follow such branches of solutions numerically, is proposed. In the end, a well-posed spatial semi-discretization of dynamic contact problems with isotropic Coulomb friction where the coefficient does not depend on the solution is introduced.Cette thèse est consacrée à l'analyse théorique et la réalisation numérique des problèmes de contact discrétisés avec frottement de Coulomb. Tout d'abord, des problèmes de contact statiques discrétisés tridimensionnels avec frottement de Coulomb isotrope et orthotrope et coefficients de frottement dépendants de la solution sont analysés au moyen de l'approche de point fixe. L'existence d'au moins une solution est établie pour les coefficients de frottement représentés par des fonctions positives, bornées et continues. Si ces fonctions sont en plus Lipschitz continues et si les limites supérieures de leurs valeurs ainsi que leurs modules de Lipschitz sont suffisamment petites, l'unicité de la solution est garantie. Deuxièmement, les propriétés des solutions paramétrées par le coefficient de frottement ou le vecteur de chargement sont étudiées dans le cas des problèmes de contact statique discrets bidimensionnels avec frottement de Coulomb isotrope et le coefficient indépendant de la solution. Les conditions dans lesquelles il existe une branche Lipschitzienne locale des solutions autour d'un point de référence donné sont établies grâce à deux variantes du théorème des fonctions implicites. Après, un algorithme de continuation lisse par morceaux qui nous permet de suivre numériquement telles branches de solutions est proposé. Finalement, une semi-discrétisation spatiale bien posée des problèmes de contact dynamique avec frottement de Coulomb isotrope où le coefficient ne dépend pas de la solution est introduite