Modélisation et calculs analytiques des dynamiques de burst et interburst dans les réseaux de neurones, applications aux interactions neurone-glie et aux rythmes oscillatoires dans le cerveau

In this PhD thesis I model and simulate biological neural networks to better understand the genesis and maintenance of neuronal bursting patterns. I develop a new mean field model based on short-term synaptic plasticity and afterhyperpolarization, a mechanism inducing a refractory period after the bursts. The model is a nonlinear stochastic dynamical system of dimension 3. I characterize the durations of bursts and interbursts by combining the study of the deterministic phase space with asymptotic analysis for the stochastic aspect. The distribution of burst durations is characterized by the probability density of the exit points on the separatrix which satisfies the Fokker-Planck equation. To solve this problem, I use WKB approximation and the method of characteristics. Interbursts are defined as the exit from the basin of attraction induced by noise and are characterized by 2 new phenomena: - The probability density in the phase space of non-exiting trajectories has a maximum not centered on the position of the deterministic attractor - The trajectories cross the separatrix then enter and exit the basin of attraction a large number of times before escaping, inducing a significant difference between the time taken to reach the separatrix and the time to escape. Finally, I apply my results to the study of: - The regulation of the bursts-interburst dynamics by the astrocyte network, - The existence or disappearance of brain oscillations, by connecting together several populations of neurons, each represented by this model.Cette thèse porte sur la modélisation et la simulation de réseaux de neurones biologiques pour étudier la genèse des bursts. Je développe un nouveau modèle de champ moyen basé sur la plasticité synaptique à court terme et l’afterhyperpolarisation, un mécanisme induisant une période réfractaire après les bursts. Le modèle est un système dynamique stochastique non linéaire de dimension 3. Je caractérise les durées des bursts et interbursts en combinant l'étude de l'espace des phases déterministe avec de l’analyse asymptotique pour l'aspect stochastique. La distribution des durées de bursts est caractérisée par la densité de probabilité des points de sortie sur la séparatrice qui satisfait l'équation de Fokker-Planck. Pour résoudre ce problème, j'utilise l'approximation WKB et la méthode des caractéristiques. Les interbursts sont définis comme la sortie du bassin d'attraction induite par le bruit et sont caractérisés par 2 nouveaux phénomènes : - La densité de probabilité dans l’espace des phases des trajectoires non sortantes a un maximum non centré sur la position de l’attracteur déterministe ; - Les trajectoires traversent la séparatrice puis entrent et sortent un grand nombre de fois du bassin d'attraction avant de s'échapper, induisant une différence significative entre le temps mis pour atteindre la séparatrice et celui pour s'échapper. Enfin, j’applique mes résultats à l’étude de : - La régulation de la dynamique de bursts-interburst par le réseau astrocytaire, - L'existence ou la disparition des oscillations cérébrales, en connectant entre elles plusieurs populations de neurones, chacune représentées par ce modèle