Extremality in multivariate statistics

Multivariate order is a valuable tool for analyzing data properties and for extending univariate concepts based on order such as median, range, extremes, quantiles or order statistics to multivariate data. Generalizing such concepts to the multivariate case is not straightforward. While different ways of generalizing quantiles have been studied by Chaudhuri [10], a description of extensions of concepts such a median, range and quantiles to the multivariate framework has been provided by Barnett [3]. The key problem, however, in generalizing these concepts to several dimensions is the lack of a unique criterion for ordering multivariate observations. Over the last few decades, multivariate stochastic orders have also become a powerful means of comparing random vectors, especially in situations where the distributions are partially known. In particular, multivariate stochastic orders have a wide range of applications in portfolio theory. The thesis is motivated by the aspects mentioned above and its purpose is threefold. Firstly it introduces the multivariate extremality as a methodology that measures the farness of a point x with respect to a data cloud or a distribution function. We study the main properties of this new concept, as well as asymptotic results, and define a new multivariate data order based on rotations. This data order allows us to introduce a new version of the multivariate quantile which can be seen as a generalization of definitions previously studied in the literature. As a consequence of this ordering, we are able to develop an application in finance by defining a new version of the multivariate Value at Risk. Secondly, we develop a new multivariate stochastic order based on directions for generalizing the well- known orthant orders. Some examples are presented of applications in portfolio comparisons. Particular attention is paid to applications in which the use of directions is well justified in determining optimal allocations of wealth among risks in single period portfolio problems. Thirdly, the thesis aims to investigate an alternative methodology for selecting the portfolio weights in a data set that represents returns of n assets for investing. We also define new concepts of efficient frontiers based on the initial idea of Markowitz. We apply the extremality multivariate data order to order feasible portfolios in a direction that depends on specific indexes; these may be chosen by the investor and may be different from the classical variance-return in Markowitz’s model. The thesis is organized as follows: in Chapter 1 we provide a brief review of some multivariate data orders introduced in the literature in order to extend univariate statistical concepts to the multivariate setting. Following some multivariate stochastic orderings, we examine different means of comparing random vectors based on their survival and distribution functions. Finally, the chapter presents a brief introduction to the portfolio selection problem. In Chapter 2, we propose a new approach for analyzing multivariate extremes. It provides a multivariate data order based on a concept that we will call “extremality”. We establish the most relevant properties of this extremality measure and we give the theoretical basis for its nonparametric estimation. Finally, we include an application in Finance, we define an oriented multivariate Value at Risk (VaR) with level sets built through extremality which is computationally feasible in high dimensions. The results of Chapter 3 concern a new multivariate stochastic order that compares random vectors in a direction which is determined by a unit vector, generalizing the well-known upper and lower orthant orders. The main properties of this new order, together with its relationships with other multivariate stochastic orders are investigated. We also present some examples of application in the determination of optimal allocations of wealth among risks in single period portfolio problems. In Chapter 4, we introduce new concepts of efficient frontier that depend on some indexes that may be chosen by the investor and that are different from the classical variance- return in Markowitz’s model. Feasible portfolios are built with MonteCarlo simulations and the new efficient frontiers are estimated by using an extremality order to sort portfolios. The performance of the selection method is illustrated with real data. Finally, in Chapter 5, we present some general conclusions and summarize the main contributions of the thesis. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Un orden multivariante es una valiosa herramienta para analizar propiedades de un conjunto de datos y extender algunos conceptos estadísticos como mediana, rango, atípicos, quantiles y estadísticos de orden al escenario multivariante. Generalizar dichos conceptos al caso multivariante no ha sido sencillo. Mientras diferentes formas de generalizar quantiles han sido estudiadas por Chaudhuri [10], una descripción de los conceptos tales como mediana, rango y quantiles para el escenario multivariante ha sido proporcionado por Barnett [3]. El principal problema en la generalización de estos conceptos a mayores dimensiones es la dificultad de definir un orden total para observaciones multivariantes. En las últimas décadas los órdenes estocásticos multivariantes también se han convertido en una sofisticada metodología para comparar vectores aleatorios, especialmente en situaciones donde sus distribuciones son parcialmente conocidas. En particular, los órdenes estocásticos multivariantes han tenido un amplio campo de aplicaciones en la teoría de portfolios. La tesis es motivada por los aspectos mencionados anteriormente y propone tres objetivos principales. Primero se introduce el concepto de extremalidad como una metodología que permite medir la lejanía de un punto x con respecto a una nube de puntos o a una función de distribución. Se estudian tanto las propiedades principales de este nuevo concepto como resultados asintóticos y se define un nuevo orden para datos multivariantes basado en rotaciones. El orden de datos permite introducir una nueva versión de quantil multivariante que puede ser visto como una generalización de definiciones anteriormente estudiadas en la literatura. Como una consecuencia de este orden para datos, se desarrolla una interesante aplicación en finanzas al definir una nueva versión del Valor en Riesgo multivariante. Como segundo objetivo se desarrolla un nuevo orden estocástico multivariante basado en direcciones que generaliza los bien conocidos orthant orders. Algunos ejemplos de aplicación son presentados sobre todo en comparación de portfolios y en la determinación de las proporciones de cierto capital disponible el cual es destinado a ser invertido entre activos con riesgo. El tercer objetivo de la tesis es el desarrollo de una metodología alternativa para seleccionar los pesos en un portfolio. Se defienen también nuevos conceptos de fronteras eficientes basadas en la idea inicial de Markowitz. Se aplica el orden de extremalidad multivariante a fin de ordenar portfolios factibles en una dirección la cual depende de algunos criterios elegidos por el inversor y que pueden ser diferentes de los criterios clásicos de varianza-media del modelo de Markowitz. La tesis es organizada de la siguiente manera: en el Capítulo 1 se proporciona una breve revisión de algunos órdenes multivariantes introducidos en la literatura para extender conceptos estadísticos univariantes al escenario multivariante. También se hace una revisión de algunos órdenes estocásticos univariantes y multivariantes. Finalmente, el capítulo presenta una introducción al problema de selección de portfolios. En el Capítulo 2, se propone un nuevo enfoque para analizar extremos multivariantes. Se introduce un orden para datos multivariantes basado en un concepto que es llamado “extremalidad”. Se establecen las propiedades más importantes de la medida de extremalidad y se proporciona la base teórica para su estimación no paramétrica. Finalmente, se incluye una aplicación en finanzas definiendo un Valor en Riesgo Multivariante Orientado el cual es computacionalmente factible en altas dimensiones. Los resultados del Capítulo 3 se refieren a un nuevo orden estocástico multivariante que permite comparar vectores aleatorios en una dirección determinada por un vector unitario. Este orden estoc´astico puede ser visto como una generalización de los bien conocidos Upper and Lower orthant orders. La principales propiedades de este nuevo orden y su relación con otros órdenes multivariantes son investigadas. Se presentan algunos ejemplos de aplicación en comparación y selección de portfolios. En el Capítulo 4 se introducen nuevos conceptos de fronteras efficientes que dependen de algunos índices elegidos por el inversor y que pueden ser diferentes a los clásicos de varianza-media del modelo de Markowitz. Se construyen portfolios factibles a traves de simulación MonteCarlo y las nuevas fronteras efficientes son estimadas mediante un orden de extremalidad que permite ordenar portfolios factibles. El método es evaluado con datos reales y se comparan los resultados con otras estrategias ya introducidas en la literatura. Finalmente, en el Capítulo 5, se presentan las conclusiones y se resumen las principales contribuciones de la tesis