Propriedades espectrais dos grafos P4-esparsos

Seja G um grafo simples e L(G), a Matriz Laplaciana de G. Um grafo G é chamado laplaciano integral quando todos os autovalores de L(G) são números inteiros. É conhecido que todo cografo é Laplaciano Integral. Cografos são grafos livres de P4 e a generalização dessa classe são os grafos P4-esparsos, contendo propriamente os cografos. Uma questão naturalmente colocada nesse contexto é se os grafos P4 esparsos são Laplacianos integrais. Nesse trabalho respondemos negativamente essa questão, provando que não existe grafo P4-esparso, com autovalor laplaciano inteiro, a menos de um cografo. Nós obtemos resultados análogos relativos a classe dos grafos P4-extensíveis, outra generalização dos cografos. Além disso, nós investigamos algumas relações entre o número b-cromático de um grafo e seu índice, dentro dos grafos P4-esparsos e outras classesLet G be a simple graph and L(G), the Laplacian matrix of G. A graph G is called Laplacian integral when all eigenvalues of L(G) are integer numbers. It is well known that every cograph is Laplacian integral. Cographs are graphs free of P4 and a generalization of this class is the class of P4-sparse graphs, containing the cographs. A question naturally posed in this context is if P4-sparse graphs are Laplacian integral. In this work we answer negatively to this question, proving that there is no P4-sparse graph, with integer Laplacian eigenvalues, unless it is a cograph. We obtain analogous results regarding the class of P4-extensible graphs, another generalization of cographs. Furthermore, we investigate some relations between the b-chromatic number of a graph and its index, within the P4-sparse graphs and other classes75 f