A desigualdade isoperimétrica e suas aplicações nos ensinos fundamental, médio e superior

Foi um dos primeiros problemas usados para otimização, através da necessidade de medir terras. Pode-se observar que dentre as figuras geométricas de mesmo perímetro, a que possui maior área é o círculo. A mais famosa observação foi vista através da história da princesa de Dido, que deveria obter a maior área de terra através do couro de um boi que foi dado a ela. Inteligentemente, a princesa fez uma corda com o couro e mediu um semicírculo próximo à margem de um rio, obtendo maior área para seu terreno. Pode-se observar também, que antigamente, as cidades eram construídas em formatos circulares, para obtenção de maior área. O problema isoperimétrico pode ser visto de duas maneiras: maximizando a área incluída por uma curva fechada de comprimento l; minimizando o comprimento de uma curva que delimita uma região de área A. Em R2, obtemos através dessas duas maneiras a desigualdade isoperimétrica, onde l é o comprimento da curva e A é a área da região delimitada. Assim, para a geometria euclidiana, teremos como resultado um círculo. Em R3, com a mesma ideia, o volume será maximizado em relação à área de superfície, onde encontraremos uma esfera. Em Rn , o volume de dimensão n é maximizado em relação à área de superfície de dimensão n. A desigualdade implica que uma superfície com curvatura constante, engloba o maior volume em relação à área de superfície .O objetivo deste trabalho é apresentar as diferentes formas de demonstração do problema isoperimétrico, visto através do caso geométrico e analítico. Será mostrado também que a Desigualdade pode ser vista e apresentada no Ensino Fundamental e Médio, em R2, partindo da ideia de que os alunos já conheçam e saibam determinar áreas e perímetros de figuras planasThe isoperimetric problem has been known since the time of the early Greeks. It was one of the first problems used for perimeter, the one with the largest area is the circle. The most famous observation was seen through the history of the Princess of Dido, who was supposed to get the largest area of land through the hide of an ox that was given to her. Cleverly, the princess made a rope with her leather and measured a semicircle near the bank of a river, obtaining a larger area for her land. It can also be observed that, in the past, cities were built in circular formats, in order to obtain a larger area. The isoperimetric problem can be seen in two ways: maximizing the area included by a closed curve of length l; minimizing the length of a curve that delimits an area A region. In R 2, we obtain through these two ways the isoperimetric inequality, where l is the length of the curve and A is the area of the delimited region. Thus, for Euclidean geometry, we will have a circle. In R 3, with the same idea, the volume will be maximized in relation to the surface area, where we will find a sphere. In R n, the volume of dimension n is maximized relative to surface area of dimension n. Inequality implies that a surface with constant curvature, encompasses the largest volume relative to the surface area. The purpose of this paper is to present the different forms of demonstration of the isoperimetric problem, seen through the geometric and analytical case. It will also be shown that Inequality can be seen and presented inin Elementary School and High School, in R 2, starting from the idea that students already know to determine areas and perimeters of flat figures42 f