Identifikasi Transient dan Cyclicity Latin Square dalam Aljabar Max-Plus

Salah satu perkembangan dalam aljabar abstrak adalah mengenai aljabar max-plus. Aljabar max-plus adalah modifikasi aljabar linear yang diturunkan dari semiring max-plus atas himpunan \mathbb{R}_{\mathbf{max}}=\mathbb{R}\cup\{-\infty\}\ dengan dua operasi, yaitu \oplus dan \otimes yang masing-masing didefinisikan sebagai \mathbit{a}\oplus\mathbit{b}=\mathbf{ma}\mathbf{x}{\{}\mathbit{a},\mathbit{b}\} dan \mathbit{a}\otimes\mathbit{b}=\mathbit{a}+\mathbit{b}. Contoh penerapan aljabar max-plus adalah pada sistem jaringan transportasi, sistem produksi sederhana, penjadwalan jaringan proyek, jaringan antrian analisis kedinamikan sistem penjadwalan flow shop dan rantai pasok, dan lain sebagainya. Operasi dalam aljabar max-plus pada \mathbb{R}_{\mathbf{max}} dapat diperluas untuk operasi-operasi matriks pada \mathbb{R}_{\mathbf{max}}^{\mathbit{n}\times\mathbit{n}}. Salah satu hal yang penting dari aljabar max-plus adalah transient dan cyclicity yang berkaitan dengan barisan dari pangkat matriks persegi. Pada penelitian ini dibahas transient dan cyclicity dari suatu Latin square dengan operasi dalam aljabar max-plus. Latin square order \mathbit{n} merupakan matriks persegi berukuran \mathbit{n}\times\mathbit{n} dengan setiap kolom dan barisnya berisi \mathbit{n} angka atau simbol yang berbeda. Hal tersebut dianalisis berdasarkan permutasi angka-angka pada Latin square. Dari hasil analisis dan pembahasan didapat bahwa cyclicity Latin square dengan elemen tak positif adalah sama dengan order matriks permutasi 0 dari Latin square tersebut. Kemudian diperoleh hasil juga bahwa maksimum transient Latin square adalah \mathbit{n}-\mathbf{2} jika diagonal utamanya 0, sedangkan untuk kasus yang lain berlaku maksimum transient adalah -\left(\left|\left|\mathbit{B}\right|\right|+\mathbf{1}\right) dikalikan nilai cyclicity atau sama dengan nilai cyclicity, dengan \left|\left|\mathbit{B}\right|\right| adalah elemen terkecil dari suatu matriks Latin square yang dipangkatkan dengan nilai cyclicity. Selain itu, terdapat hasil tambahan untuk Latin square dengan diagonal utama 0, maka elemen 0, -\mathbf{1}, dan -\mathbf{2} di posisi yang sama tidak akan berubah jika matriks tersebut dipangkatkan sebarang bilangan asli. =================================================================================================================================== One of the progress in abstract algebra is about max-plus algebra. Max-plus algebra is a modification of linear algebra over the max-plus semiring Rmax = R∪ {−∞} with two operations, namely ⊕ and ⊗ defined as a ⊕ b = max{a, b} and a ⊗ b = a + b, respectively. Examples of the application of max-plus algebra are in transportation network systems, simple production systems, project network scheduling, queue network dynamic analysis of flow shop scheduling systems and supply chains, etc. Operations in max-plus algebra on Rmax can be extended to matrix operations on R n×n max . One of the important of max�plus algebra are transient and cyclicity related to sequences from the power of the square matrix. In this final project discussed transient and cyclicity of a Latin square with operations in max-plus algebra. Latin square order n is a square matrix of size n × n with each column and the row contains n different numbers or symbols. It is analyzed based on permutations of numbers on a Latin square. From the results of the analysis and discussion it is found that the cyclicity Latin square with non-positive elements is an order permutation matrix 0 of the Latin square. Then the results also show that the maximum transient Latin square is n−2 if the main diagonal is 0, while for other cases the maximum transient is −(||B|| + 1) multiplied by cyclicity value or equal to the cyclicity value, where ||B|| is the smallest element of a matrix Latin square raised to the power of cyclicity. In addition, there is an additional result for Latin square n × n with a main diagonal of 0, so elements 0, −1, and −2 in the same position will not change if the matrix is raised to any power of value a ∈