Schéma précis compact élevé pour les flux de deux phases incompressibles laminaires

L'objectif de cette thèse est de développer une méthode précise d'ordre élevé pour résoudre le problème d'écoulementlaminaire incompressible à deux phases. Trois tâches principales sont à accomplir. Premièrement, la méthode doit être stable en énergie, ce qui signifie que la condition sans divergence de l'équation de Navier-Stokes incompressible est satisfaite partout dans le domaine de calcul. Deuxièmement, les discontinuités locales apparaissant dans le champ d'écoulement diphasique doivent être capturées avec précision. Troisièmement, l'interface matérielle entre les deux fluides doit être représentée avec précision à chaque pas de temps. Dans ce travail, une nouvelle méthode Hybridizable Discontinuous Galerkin (HDG) est utilisée pour la discrétisation spatiale. Cette méthode hybride qui appartient à la famille des méthodes DG-FEM satisfait la condition sans divergence en introduisant des variables de trace de vitesse et de pression du même ordre plus une approximation de vitesse et de pression adaptée à l'intérieur des éléments. Deplus, les concepts de FEM eXtended (X-FEM) sont utilisés pour approximer les discontinuités dans le champ d'écoulement en enrichissant l'approximation FEM standard dans les éléments où deux fluides existent. Enfin, l'interface du matériau en mouvement entre les deux fluides est capturée à l'aide de la méthode Level-Set.The objective of this thesis is to develop a high-order accurate method to solve the two-phase incompressible laminar flowproblem. Three main tasks are to be achieved. First, the method has to be energy-stable meaning that the divergence-free condition of the incompressible Navier-Stokes equation is satisfied everywhere in the computational domain. Second, the local discontinuities arising in the two-phase flow field have to be captured accurately. Third, the material interface betweenthe two fluids has to be represented accurately in each time step. In this work, a novel Hybridizable Discontinuous Galerkin (HDG) method is used for the spatial discretization. This hybrid method that belongs to the family of DG-FEM methods satisfies the divergence-free condition by introducing velocity and pressure trace variables of the same order plus a tailoredvelocity and pressure approximation inside the elements. Furthermore, the concepts of eXtended FEM (X-FEM) are used toapproximate discontinuities in the flow field by enriching the standard FEM approximation in elements where two fluids exist. Finally, the moving material interface between the twofluids is captured using the Level-Set metho