The Teukolsky equation on subextremal Kerr spacetimes

Dans cette thèse, nous étudions l'équation de Teukolsky sur les espaces-temps de Kerr sous-extrémaux. Ces derniers sont des solutions explicites de l'équation d'Einstein dans le vide qui décrivent des trous noirs éternels en rotation dans un univers par ailleurs vide. L'équation de Teukolsky est issue de l'étude d'équations d'onde tensorielles sur ces espaces-temps telles que les équations de Maxwell et les équations de la gravité linéarisée. Il s'agit d'une équation aux dérivées partielles hyperbolique scalaire linéaire qui gouverne certaines composantes particulières du champ. Dans le cas de la gravité linéarisée, l'analyse de cette équation joue un role central dans l'étude de la stabilité linéaire et non linéaire des trous noirs de Kerr. Nous donnons dans un premier temps une description détaillée des notions géométriques nécessaires pour comprendre d'où vient l'équation de Teukolsky. Nous introduisons les fibrés des spineurs, les formalismes de Newman-Penrose et GHP (Geroch–Held–Penrose), les fonctions à poids spinoriels et l'opérateur de Teukolsky et nous montrons comment certaines équations d'ondes tensorielles se découplent pour certaines composantes spéciales (appelées scalaires de Teukolsky). Nous étudions ensuite le comportement en temps long des solutions de l'équation de Teukolsky avec des données initiales régulières et localisées. Quand ces dernières sont à support compact, nous prouvons que la solution admet un terme principal en temps long et nous le calculons explicitement. Si les données initiales ont seulement une décroissance polynomiale inverse, nous obtenons une borne polynomiale inverse par rapport au temps pour la solution. Une force de ces résultats est qu'ils ne sont pas limités au cas des trous noirs de Kerr à rotation lente mais sont valables dans l'intervalle sous-extrémal tout entier des paramètres du trou noir. Cette analyse est fondée sur des avancées récentes en analyse spectrale et microlocale dans le contexte de la relativité générale et requiert une description précise de la résolvante à basse énergie. Dans l'appendice de la thèse, nous fournissons des notes à propos de la théorie hyperbolique standard pour les opérateurs différentiels. En particulier nous présentons des résultats d'existence, d'unicité et d'approximation pour les solutions d'équations différentielles hyperboliques d'ordre deux sur des fibrés vectoriels. Nous fournissons également une introduction à l'utilisation des méthodes microlocales pour l'obtention d'estimées Fredholm au travers d'une application à un exemple unidimensionnel simple avec un minimum d'outils techniques.In this thesis, we study the Teukolsky equation on subextremal Kerr spacetimes. The latter are explicit solutions of the vacuum Einstein equations which describe eternal rotating black holes in an otherwise empty universe. The Teukolsky equation arise from the study of tensorial wave equations on these spacetimes such as the Maxwell equations and the equations of linearized gravity. It is a scalar linear hyperbolic partial differential equation which governs the behavior of some geometrically meaningful components of the field. In the case of linearized gravity, the analysis of this equation plays a central role in the study of the linear and non linear stability of Kerr black holes. We first provide a detailed description of the geometric notions necessary to understand where the Teukolsky equation comes from. We introduce the spinor bundles, the Newman-Penrose and GHP (Geroch–Held–Penrose) formalisms, the spin weighted functions and the Teukolsky operator and we show how the tensorial wave equations decouple for some special components (called the Teukolsky scalars). We then study the large time behavior of the solutions of the Teukolsky equation with regular and localized initial data. When the latter are compactly supported, we prove that the solution admits a large time leading order term and we compute it explicitly. If initial data only have an inverse polynomial decay, we obtain an inverse polynomial bound in time for the solution. A strength of these results is that they are not limited to slowly rotating Kerr black holes but are valid in the whole subextremal range of black holes parameters. This analysis is based on recent advances in microlocal and spectral analysis in the context of general relativity and requires a precise description of the resolvent operator at low energy. In the appendix of the thesis, we provide some notes about the standard theory for hyperbolic differential operators. In particular we present results of existence, uniqueness and approximation for solutions of hyperbolic differential equations of order two on vector bundles. We also provide an introduction to the use of microlocal methods to get Fredholm estimates through its application to a simple one dimensional example with minimal technical tools