Écoulements et transports en milieux poreux complexes : méthodes particulaires

Particle methods have been extensively used for modeling transport problems in porous soils, aquifers, and reservoirs. They reduce or avoid some of the problems of Eulerian methods, e.g. instabilities, excessive artificial diffusion, mass balance, and/or oscillations that could lead to negative concentrations. This thesis develops a new class of gridless Lagrangian particle methods for modeling flow and transport phenomena in complex porous media with heterogeneities and discontinuities. Firstly, stochastic processes are reviewed, in relation to particle positions X(t) and to the corresponding macroscopic Advection-Diffusion Equation (ADE). This review leads to the conditions required for the Probability Density Function (PDF) of X(t) to satisfy the Fokker-Planck equation (and the ADE). However, one of these conditions is the differentiability of transport coefficients: therefore, discontinuities are difficult to treat, particularly discontinuous diffusion D(x) and porosity q(x). In the literature on particle Random Walks, the methods used to handle discontinuous diffusion required excessively small time steps. These restrictions on the time step lead to inefficient algorithms. In this study, we propose a novel approach without restrictions on time step size. The novel RWPT (Random Walk Particle Tracking) algorithms proposed here are discrete in time and continuous in space (gridless). They are based on an adaptive “Stop&Go” time-stepping, combined with partial reflection/refraction schemes, and extended with three new concepts: negative mass particles; adaptive mass particles; and “homing” particles. To test the new Stop&Go RWPT schemes in infinite domains, we develop analytical and semi-analyticalsolutions for diffusion in the presence of multiple interfaces (discontinuous multi-layered medium) in infinite domains. The results show that the proposed Stop&Go RWPT schemes (with adaptive, negative, or homing particles) fit extremely well the semi-analytical solutions, even for very high contrasts for transport properties even in the neighborhood of the interfaces. The schemes provide a correct diffusive solution in only a few macro-steps (macroscopic time steps), with a precision that depends only on the number of particles, and not on the macro-step. The algorithms are then, extended from infinite to semi-infinite and finite domains. Dirichlet conditions are particularly difficult to implement in particle methods. Thus, in this thesis we propose different methods on how to implement Dirichlet boundary conditions with the “discontinuous” RWPT algorithm. This study proposes an algorithm to solve diffusion equations semi-analytically in heterogeneous semi-infinite and finite domains with Dirichlet boundary conditions. The RWPT Dirichlet methods are then checked analytically and verified for various configurations. Finally, the RWPT method is applied for studying diffusion at different scales in 2D composite media (grain/pore systems). A zero-flux condition is assumed locally at the grain/pore interfaces. At the macro-scale, diffusion occurs in an equivalent effective homogeneous medium with macroscopic parameters (porosity and effective diffusion coefficients) obtained from the temporal evolution of second order moments. The RWPT algorithm is then applied to more complex geometries of grains and pores. Different configurations or structures at the micro-scale level will be chosen in order to obtain composite isotropic media at the macro-scale level with different porosities. Then, by choosing elongated micro-structures, anisotropy effects emerge at the macroscopic level. Effective macro-scale properties (porosities, effective diffusion tensors, tortuosities) are calculated using the second order moment. The different methods proposed in this thesis can be used for different problems, since each has its drawbacks and advantages. The schemes proposed seem promising with a view to extensions towards more complex 3D geometriesLes méthodes utilisant des particules ont été largement utilisées pour modéliser les problèmes de transport dans les sols poreux, les aquifères et les réservoirs. Ils réduisent ou évitent certains desproblèmes des méthodes eulériennes, par exemple instabilités, diffusion artificielle excessive, bilan massique et / ou oscillations pouvant conduire à des concentrations négatives. Cette thèsedéveloppe de nouvelles méthodes de particules lagrangiennes pour modéliser les phénomènes d'écoulement et de transport dans des milieux poreux complexes avec des hétérogénéités. Pour ce faire, cette thèse passe d'abord en revue les processus stochastiques et leurs relations avec l'équation (EDP) macroscopique d'Advection-Diffusion ADE. Cette mise en revue permet de trouver les conditions nécessaires à un processus stochastique pour que sa densité de probabilité vérifie l’équation EDP de Fokker-Planck et donc l’ADE. Cependant, l’une de ces conditions est la différentiabilité des coefficients de transport. Il est donc difficile de traiter les discontinuités et les hétérogénéités, en particulier la diffusion et la porosité discontinues. Dans la littérature sur les marches aléatoires de particules, les méthodes précédentes utilisées pour traiter ce problème de discontinuité nécessitaient de petits pas de temps afin de converger vers la solution attendue. Ces restrictions sur le pas de temps conduisent à des algorithmes inefficaces. Dans cette étude, nous proposons une nouvelle approche sans restrictions sur la taille des pas de temps. L’algorithme RWPT (Random Walk Particle Tracking) proposé ici est discret en temps et continu en espace (sans grille). Le nouvel algorithme RWPT est basé sur un pas de temps adaptatif « Stop&Go », combiné à des schémas de réflexion partielle/réfraction, et étendu à trois nouveaux concepts : particules de masse négative ; particules de masse adaptative ; et particules à tête chercheuse ("homing"). Les algorithmes en domaines infinis ont ensuite été généralisés au cas de domaines finis ou semi-infinis. Les conditions aux limites de Dirichlet (concentrations) sont particulièrement difficiles à mettre en œuvre dans les méthodes particulaires. Ainsi, cette thèse propose-t-elle différentes méthodes de mise en œuvre des conditions de Dirichlet avec l'algorithme RWPT utilisé pour traiter les discontinuités. Pour tester les nouveaux schémas RWPT Stop&Go, nous développons des solutions analytiques et semi-analytiques pour la diffusion en présence de multiples interfaces (milieu multicouche discontinu) dans des domaines infinis, semi-infinis et finis avec des conditions limites de Dirichlet. Les résultats montrent que les schémas RWPT Stop&Go proposés correspondent extrêmement bien aux solutions semi-analytiques, même pour des contrastes très forts des coefficients de diffusion et porosités, y compris au voisinage des interfaces. Ensuite, la méthode RWPT est appliquée pour étudier les processus de diffusion à différentes échelles dans des supports composites (systèmes grains/pores 2D). Une condition de flux nul est appliquée localement aux interfaces grain/pore. Au niveau macroscopique, la diffusion se produit dans un milieu homogène avec des paramètres macro-échelle (porosité et coefficients de diffusion effectifs) induits par des méthodes de montée d’échelle à l'aide des moments spatiaux d’ordre 2. L'algorithme RWPT est ensuite appliqué à des géométries plus complexes de grains et pores. Tout d’abord, différentes configurations ou structures micro-échelle sont choisies afin d'obtenir des milieux composites isotropes ayant différentes porosités. Puis, en choisissant des micro-structures allongées, des effets d’anisotropies apparaissent au niveau macroscopique. Les différentes méthodes proposées dans cette thèse pourraient être utilisées pour différents problèmes, chacune ayant ses inconvénients et ses avantages. Les schémas proposés semblent prometteurs dans la perspective d’extensions vers des géométries 3D plus complexe