Hedging in nichtlinearen Modellen illiquider Finanzmärkte

Der Großteil der gängigen mathematischen Modelle für die Bewertung und Replikation von derivativen Finanzinstrumenten beruht auf der impliziten Annahme, dass der Preis einer gehandelten Position linear in der Positionsgröße wächst. Dies ist zum Beispiel im wohlbekannten Black-Scholes Modell der Fall. Während diese Annahme für kleine Handelsvolumina gerechtfertigt sein mag, sind darauf beruhende Modelle unpassend in Situationen, in welchen die Transaktionsgröße signifikant im Verhältnis zur Gesamtgröße des Marktes ist. In der vorliegenden Dissertation studieren wir ein nichtlineares Modell für die Bewertung und Replikation von Derivaten, welches den Preiseinfluss derartig großer Transaktionen berücksichtigt. Wir betrachten ein Setting, in welchem ein Market Maker mit einem großen Investor zu einem Preis handelt, der es dem Market Maker erlaubt, seinen Erwartungsnutzen beizubehalten. Dies ist der sogenannte Marktindifferenzpreis. In diesem Modell untersuchen wir die Zulässigkeit von Handelsstrategien und zeigen die Abwesenheit von Arbitragemöglichkeiten. Überdies charakterisieren wir die Menge der erreichbaren Contingent Claims und leiten asymptotische Approximationen für Hedginstrategien in diesem illiquiden Markt her. Während der erste Teil der Dissertation sich mit Power-Nutzenfunktionen befasst, ist der zweite Teil der Untersuchung von exponentiellen Nutzenfunktionen gewidmet. Die vorliegende Arbeit erweitert das Marktindifferenzpreismodell für einen großen Investor von Bank und Kramkov (2013 & 2014), in welchem die Autoren einen Nutzenindifferenzansatz verfolgen, um den Preiseinfluss von großen Transaktionen an Finanzmärkten zu beschreiben. Wir erweitern dieses Modell, indem wir die Bewertung und Replikation von Contingent Claims untersuchen. Überdies ergänzen wir den ursprünglichen Modellrahmen um zwei Aspekte: Zum einen betrachten wir im ersten Teil dieser Dissertation Power-Nutzenfunktionen, welche hyperbolische absolute Risikoaversion (HARA) besitzen, anstatt uns auf Nutzenfunktionen mit beschränkter absoluter Risikoaversion zu begrenzen, welche von Bank und Kramkov betrachtet wurden. Zum anderen modellieren wir die Auszahlung des gehandelten Wertpapieres als Endwert einer geometrischen Brown’schen Bewegung, welche in der Analyse von Bank und Kramkov ausgeschlossen wurde, da nicht all ihre exponentiellen Momente endlich sind. Auf mathematischer Ebene ist das Herzstück unseres Modells eine hoch nichtlineare stochastische Differentialgleichung (SDE), welche die Handelsdynamik bestimmt. Wir formulieren sowohl die Zulässigkeit von Handelsstrategien als auch die Bewertung und die Replikation von Derivaten als Fragen über die Existenz eines Kontrollprozesses für diese SDE, welcher die Existenz von starken Lösungen mit bestimmten Endbedingungen garantiert. Im vorliegenden Rahmen, in welchem das gehandelte Wertpapier mit Hilfe einer geometrischen Brown’schen Bewegung beschrieben wird, beantworten wir diese Fragen für Power-Nutzenfunktionen im ersten und für exponentielle Nutzenfunktionen im zweiten Teil dieser Dissertation. Unsere Untersuchung der Erreichbarkeit von Contingent Claims führt zu neuartigen und überraschend subtilen Fragen über die Eigenschaften der Lognormalverteilung. Während wir in der Lage sind ein Resultat über das asymptotische Verhalten der Laplacetransformierten der Lognormalverteilung zu zeigen, formulieren wir zwei verwandte Monotonieaussagen lediglich als Vermutungen. Obwohl die intuitive Korrektheit dieser Vermutungen von numerischen Experimenten untermauert wird, ist ein analytischer Beweis bislang nicht erbracht, so dass einige unserer Resultate bedingt auf diese Vermutungen formuliert werden müssen. Das anscheinend lückenhafte Verständnis der Eigenschaften dieser vielfach genutzten Verteilung ist überraschend und die betreffenden Resultate und offenen Fragen könnten von unabhängigem Interesse sein.The majority of mathematical models concerned with the pricing and replication of derivatives in financial markets relies on the implicit assumption that the price for a traded position is linear in the position size, as is the case, for instance, in the famous Black-Scholes model. While suitable for small transactions, these models are inadequate if transaction sizes are large enough to be significant in comparison to the size of the market as a whole. In this thesis we study a nonlinear framework for the pricing and replication of derivatives which incorporates the price impact of such large transactions. We consider a setting in which a market maker trades with a large investor at a price that allows him to preserve his level of expected utility, the so-called market indifference price. In this setting we investigate the admissibility of trading strategies and show the absence of arbitrage. We further characterise the set of attainable contingent claims and we derive asymptotic expansions for hedging strategies in this illiquid market. While the first part of the thesis establishes these results for power utility functions, its second part is dedicated to the case of exponential utilities. The work at hand extends the model for a large investor trading at market indifference prices proposed by Bank and Kramkov (2013 & 2014), in which the authors follow a utility indifference pricing approach to study the price impact of large transactions in a financial market. We extend this model by investigating the pricing and replication of contingent claims in this setting. Moreover, we extend the original framework in two other ways: Firstly, throughout the first part of this thesis, we consider power utility functions with hyperbolic absolute risk aversion (HARA) rather than utility functions with bounded absolute risk aversion which were studied by Bank and Kramkov. Secondly, we model the payoff of the marketed security using geometric Brownian motion, which was excluded from the analysis by Bank and Kramkov due to its failure to satisfy a finite exponential moments condition. On a mathematical level, the heart of our model is a highly nonlinear SDE which determines the dynamics of trading in our setting. The admissibility of trading strategies as well as the pricing and hedging of derivatives are formulated as questions about the existence of a control process for this SDE which ensures the existence of strong solutions with certain terminal conditions. In the present framework, where the traded security is modeled using geometric Brownian motion, these questions are answered for both power- and exponential utility functions in the first and second part of this thesis, respectively. Our investigation of the attainability of contingent claims leads to novel and surprisingly delicate questions about the lognormal distribution. While we are able to prove a result concerning the asymptotic behaviour of its Laplace transform, two related monotonicity assertions are merely stated as conjectures. Even though these conjectures are strongly supported by numerical evidence and by intuition, an analytical proof is yet outstanding and several of our results must be stated conditional on the validity of these conjectures. The apparent lack of understanding of the properties of this widely used distribution is quite surprising and the related results and open questions may be of interest in their own regard