Microstructural changes and determination of effective material properties in binary alloys

In der vorliegenden Arbeit wird der Prozess der zeitlichen, mikrostrukturellen Entwicklung am Bespiel binärer Lotlegierungen untersucht. Weiterhin werden unterschiedliche Homogenisierungsverfahren zur Bestimmung effektiver Materialparameter angewendet. Dabei kommen analytische wie auch numerische Verfahren zum Einsatz. In Abschnitt 1 werden zunächst relevante Werkstoffe, welche heterogene Mikrostrukturen aufweisen und deshalb für die vorliegenden Untersuchungen von Interesse sind, vorgestellt. Weiterhin werden die Effekte beschrieben, welche zur Ausprägung einer heterogenen Mikrostruktur führen. Die vereinfachte Beschreibung solcher Strukturen mit Hilfe homogenisierter Ersatzmodelle und effektiver Materialeigenschaften wird zusätzlich motiviert. Abschnitt 2 beschreibt die Anwendung analytischer Methoden zur Bestimmung effektiver Materialparameter. Dazu werden zunächst aus der Literatur bekannte Verfahren angewendet, um obere und untere Grenzen der Materialparameter linear-elastischer Materialien bestimmen zu können. Ausserdem wird die Anwendung der Methode asymptotischer Reihen vorgestellt und die Ergebnisse am Beispiel von sich lamellenartig ausbildenden Werkstoffen dargestellt. Weiterhin wird die Methode der asymptotischen Reihen von rein elastischen Materialien auf linear-plastisches Materialverhalten erweitert und effektive Tangentenmoduli am Beispiel des 1D-Zugstabes bestimmt. Der Prozess der Entmischung und anschliessenden Vergröberung bleifreier Lotwerkstoffe wird in Abschnitt 3 behandelt. Zunächste wird ein Überblick über die thermodynamischen Grundlagen der spinodalen Entmischung gegeben. Es folgt die Beschreibung mittels einer erweiterten Diffusionsgleichung und deren variationelle Formulierung zur numerischen Simulation des Prozesses. Dabei sind Aspekte wie Randbedingungen, Zeitdiskretisierung und Entdimensionierung zu beachten. Die Wirkung mechanisch anliegender Spannungen wird zunächst vernachlässigt. In einem weiteren Schritt wird die Lösung der Impulsbilanz und die damit einhergehende Kopplung mikrostruktureller Entwicklung und mechanischer Spannungen hinzugefügt. Der Einfluss unterschiedlicher Lastfälle auf die sich ausbildende Mikrostruktur wird untersucht. Weiterhin sind auch in der Realität auftretende Körner mit unterschiedlich orientierten Kristallachsen von Bedeutung und werden dem Modell hinzugefügt. Darauf aufbauend werden in Abschnitt 4 die simulierten Volumenelemente weiter analysiert. Zunächst werden effektive Materialparameter für die aus der Simulation folgenden Mikrostrukturen bestimmt. Dies geschieht durch Auswertung des HILL Theorems. Darüber hinaus wird der Frage nachgegangen, ob und wie lange das gewählte Rechengebiet als repräsentativ für die gesamte Mikrostruktur angesehen werden kann. Dazu wird auf unterschiedliche Ansätze zurückgegriffen. Es muss klar unterschieden werden, ob die Repräsentativität des Volumenelementes bezüglich des Entmischungsverhaltens oder bezüglich des mechanischen Verhaltens der Mikrostruktur gewährleistet werden soll. Da metallische Werkstoffe unter thermo-mechanischen Belastungen, wie sie bei typischen Einsatzgebieten von Lotwerkstoffen häufig der Fall sind, ein starkes Kriechverhalten aufweisen, wird in Abschnitt 5 das mechanische Modell mit der Beschreibung einer zeitabhängigen Plastizität erweitert. Da jede Gleichgewichtsphase einer Legierung nicht aus Reinstoffen, sondern anteilig aus den beteiligten Konstituenten zusammengesetzt ist, wurde zunächst ein Verfahren entwickelt, um aus den Kriechparametern der Reinstoffe effektive Kriechgesetze abzuleiten. Darüber hinaus wird ein Kriechmodell mit Schädigungsparameter implementiert. Dadurch lässt sich der Zuwachs an Kriechschädigung bestimmen und Rissbildung und –wachstum innerhalb der Mikrostruktur beschreiben. Die vorliegende Arbeit endet mit einer Zusammenfassung der Ergebnisse und einem Ausblick, wie die vorliegenden Forschungsinhalte sinnvoll zu ergänzen und weiterzuentwickeln sind.In the present thesis the microstructural development of binary solder alloys and its consequences for effective material properties is examined. Therefore analytical as well as numerical procedures have been applied. In Section 1, relevant materials, which have heterogeneous microstructures and therefore are of interest for the present study, are presented. Furthermore the effects, which lead to the development of a heterogeneous microstructure, are described. The simplified description of such structures using homogenized replacement models and effective material properties is additionally motivated. Section 2 describes the application of analytical methods to determine effective material parameters. Known methods from the literature are applied to determine upper and lower bounds for linear-elastic material properties. Then the method of asymptotic expansions is presented and applied, and the results are compared to known solutions of lamella-type material structures. Furthermore the method of asymptotic expansions for purely elastic materials is extended to linear-plastic material behavior and effective tangent moduli are determined by using the example of a 1D tensile bar. The process of phase separation and subsequent coarsening in lead-free solder materials is discussed in Section 3. First an overview of the thermodynamic basics of spinodal decomposition is given. This is followed by the description of this process by means of an extended diffusion equation and its variational formulation for the numerical simulation. Such aspects as boundary conditions, discretization and obtaining a dimensionless formulation are discussed. The effect of mechanical stresses and strains is initially neglected. In a further step the solution of the momentum balance and the associated coupling of microstructural development and mechanical stresses is added. The influence of different loading conditions on the geometry of the developing microstructure is studied. In reality grains occur with different orientations of crystallographic axis and therefore are added to the model. The simulated volume elements are specified in Section 4 and are further analyzed. Initially effective material properties are determined for the simulated microstructures. This is done by evaluating the HILL Theorem. Moreover, the question is raised as to whether and how long a chosen volume element can be considered as representative for the entire microstructure. To answer this question different approaches are utilized. It is important to distinguish as to whether the representativeness of the volume element is to be ensured with respect of the phase separation and coarsening behavior, or concerning the mechanical behavior of the microstructure. Since metallic materials under thermo-mechanical loads show a strong tendency to creep, as it is often the case in typical areas of application of solder materials, the mechanical model has been extended to include time-dependent plasticity in Section 5. Since each equilibrium phase in an alloy is not made from pure substances, but composed of the participating constituents, a method was developed to derive effective creep laws from the creep properties of the pure substances. In addition, a creep model with damage parameters was implemented. This allows to determine the growth of creep damage and to describe crack initiation and growth within the microstructure. The present work ends with a summary of the results and an outlook how the present research content could be further developed