Konstruktionen für Posets, Verbände und Polytope

In der vorliegenden Arbeit werden zwei neue Konstruktionsmethoden für partiell geordnete Mengen eingeführt und untersucht. Einige Teile dieser Arbeit sind gemeinsam mit Anders Björner, Jonas Sjöstrand und Güunter M. Ziegler entstanden. Die erste Konstruktion ? die sogenannte E-Konstruktion ? wurde von Eppstein, Kuperberg, und Ziegler für simpliziale 4-Polytope eingeführt. Hier wird sie auf beliebige gradierte partiell geordnete Mengen P erweitert. Sie hängt von einem Parameter t zwischen 0 und l-2 ab, wobei l die Länge von P bezeichnet, und sie weist P eine neue partiell geordnete Menge Et(P) zu. Im zweiten Kapitel der Arbeit werden grundlegende Eigenschaften dieser Konstruktion bewiesen. Sie bildet Eulersche Verbände wieder auf solche ab und erhält ihre Länge. Für Eulersche Verbände L wird gezeigt, dass für r,s? 2 ? unter bestimmten zusätzlichen Voraussetzungen an L ? Et1(L) ein r-einfacher und s-simplizialer Verband ist. Insbesondere ist Ed-2(L) 2-einfach und (d-2)-simplizial, wenn L simplizial ist. Aus der verallgemeinerten E-Konstruktion erhält man mehrere unendliche Familien von 2-einfachen und 2-simplizialen Polytopen (im folgenden (2,2)-Polytope genannt). Hierzu wird die E-Konstruktion auf Seitenverbände von Polytopen angewendet. Es werden mehrere Polytopklassen angegeben, für die die aus der Anwendung der Konstruktion resultierenden Verbände wieder Seitenverbände von Polytopen sind. Insbesondere wird gezeigt, dass sich die Konstruktion auf vierdimensionale Stapelpolytope anwenden läßt und sich daraus eine unendliche Familie von rationalen (2,2)-Polytopen ergibt. Außerdem erhält man eine unendliche Familie von 2-einfachen und (d-2)-simplizialen d-Polytopen in jeder Dimension d?4. Sie sind die ersten explizit konstruierten Polytopfamilien mit diesen Eigenschaften. Bisher waren nur eine unendliche Familie von (2,2)-Polytopen mit irrationalen Koordinaten sowie eine endliche Anzahl weiterer 2-einfacher und (d-2)-simplizialer d-Polytope für d?4 bekannt. Im dritten Kapitel werden hinreichende Kriterien dafür angegeben, dass sich die Konstruktion auf Produkte von zwei Polytopen anwenden läßt. Für Produkte von Polygonen erhält man eine unendliche Familie Emn, m,n?3, von selbstdualen (2,2)-Polytopen. E44 ist das 24-Zell. Für die Emn kann man sehr flexible geometrische Realisierungen angeben. Für E33 und E44 wird eine explizite untere Schranke an die Dimension des Realisierungsraumes bestimmt. Wenn m, n? 5 und koprim sind, dann besitzt der Seitenverband von Emn Automorphismen, die nicht geometrisch realisierbar sind. Das vierte Kapitel enthält Resultate über (2,2)-Polytope im Zusammenhang mit der Klassifikation von Fahnenvektoren von 4-Polytopen sowie über (2,2)-Polytope im Verhältnis zu anderen Polytopen. Außerdem werden ältere Konstruktionen für (2,2)-Polytope vorgestellt und ein Überblick über alle bekannten Beispiele von (2,2)-Polytopen mit wenigen Ecken und über unendliche Familien solcher Polytope gegeben. Im fünften Kapitel wird eine zweite neue Konstruktion auf partiell geordneten Mengen eingeführt. Sie basiert auf einer Konstruktion, die Thomas Bier für Boolesche Verbände beschrieben hat. Hier wird sie auf allgemeine gradierte partiell geordnete Mengen P erweitert. Sie assoziiert zu einer solchen und einem eigentlichen Ideal I in P eine neue partiell geordnete Menge Bier(P,I). Wenn P Seitenverband einer PL Sphäre S ist, dann ist auch Bier(P,I) ein solcher, und zwar zu einer PL Sphäre, die durch stellare Unterteilung von Seiten in S erhalten werden kann. Wenn P ein Boolescher Verband ist, dann sind die erhaltenen Sphären schälbar. Die Anzahl kombinatorisch verschiedener Bier-Sphären ist so groß, dass die meisten von ihnen nicht polytopal sein können. Für spezielle Wahlen des Ideals I sind die Sphären fast nachbarschaftlich und zentralsymmetrisch.In my thesis I introduce and explore two new construction methods for partially ordered sets. Part of the presented results originate in joint work with Anders Björner, Jonas Sjöstrand and Günter M. Ziegler. The first construction ? the so called E-Construction ? was originally introduced by Eppstein, Kuperberg, and Ziegler for simplicial 4-polytopes. We generalise this to arbitrary graded partially ordered sets P. The construction depends on a parameter t between 0 and l-2, where l denotes the length of P. It associates a new poset Et(P) to any graded poset P. In the second chapter of this thesis we collect basic properties of the E-Construction. The construction maps Eulerian lattices onto Eulerian lattices and preserves their length. For Eulerian lattices L we prove that for some r,s? 2 ? if certain additional assumptions on L are satisfied ? the lattice Et(L) will be r-simple and s-simplicial. >From our generalised version of the E-Construction we obtain several infinite families of 2-simple and 2-simplicial 4-polytopes (which we call (2,2)-polytopes in the following). To this end we apply the E-Construction to face lattices of polytopes. We present several classes of polytopes for which the resulting lattices are again face lattices of polytopes. In particular, we show that the construction applies to 4-dimensional stacked polytopes. This way, we obtain an infinite family of rational (2,2)-polytopes. In addition, we obtain an infinite family of 2-simple and (d-2)-simplicial d-polytopes in each dimension d? 4. These are the first families of their kind, and we construct explicit geometric realisations of them. Prior to this the only known infinite family of (2,2)-polytopes had irrational coordinates. In higher dimensions only a finite number of 2-simple and (d-2)-simplicial d-polytopes were known at all. In the third chapter we give criteria guaranteeing that we can apply the construction to products of two polytopes in such a way that we obtain polytopes. In the case of products of polygons we obtain an infinite 2-parameter family Emn, m,n? 3, of self-dual (2,2)-polytopes. E44 is the 24-cell. We give quite flexible geometric realisations of the polytopes Emn and determine explicit lower bounds for the dimension of the realisation spaces of E33 and E44. If m and n are larger or equal to 5 and coprime then the face lattice of Emn will have automorphisms that are not geometrically realisable in any (i.e. not necessarily from the E-Construction) geometric realisation of Emn. The fourth chapter contains various results about (2,2)-polytopes in connection with the classification of flag vectors of 4-polytopes and some results about the relation of (2,2)-polytopes and other 4-polytopes. Additionally we present several earlier constructions for polytopes that are related to the construction of 2-simple and (d-2)-simplicial d-polytopes. In the end we give an overview over all known examples of (2,2)-polytopes with a small number of vertices and over all known infinite families of such polytopes. In the fifth chapter we introduce a second new construction on partially ordered sets. This is based on an earlier construction given by Thomas Bier for Boolean lattices. We generalise it to arbitrary graded posets P. The construction associates to P and any proper ideal I in P a new poset Bier(P,I). If P is the face lattice of a PL sphere S then Bier(P,I) is again the face lattice of a PL sphere, the Bier sphere of S and I. This PL sphere can be obtained by stellarly subdividing faces of S. If P is the Boolean lattice then the PL sphere Bier(P,I) is shellable. The number of combinatorially different Bier spheres is so large that most of these spheres cannot be polytopal. For special choices of the ideal I we obtain nearly neighbourly and centrally symmetric spheres