Métodos iterativos fraccionarios para la resolución de ecuaciones y sistemas no lineales: diseño, análisis y estabilidad

[ES] El cálculo fraccionario es una extensión del cálculo clásico, donde el orden de las derivadas o integrales es un número real. Hoy en día, el cálculo fraccionario tiene numerosas aplicaciones en ciencias e ingeniería. La principal razón es el mayor grado de libertad de las herramientas del cálculo fraccionario en comparación con las herramientas del cálculo clásico. Muchos problemas reales se modelan por medio de ecuaciones diferenciales fraccionarias no lineales cuyo sistema de ecuaciones es no lineal, y por tanto, es conveniente que se adapten procedimientos iterativos para resolver problemas no lineales con el uso de derivadas fraccionarias, y observar cuál es la consecuencia en la convergencia de dicho método. En esta Tesis Doctoral diseñamos nuevos procedimientos iterativos con derivadas fraccionarias (o su aproximación) que al menos igualen a los métodos clásicos en términos de orden de convergencia, mediante la introducción de las derivadas fraccionarias de Riemann-Liouville, de Caputo y conformable (o sus aproximaciones). También, proponemos estudiar la estabilidad de estos esquemas con el uso de planos de convergencia, y planos dinámicos en algunos casos. Finalmente, pretendemos diseñar una técnica que nos permita obtener la versión fraccionaria conformable (o versión con derivada conformable o su aproximación) de cualquier procedimiento iterativo clásico para problemas no lineales. En el Capítulo 2 se exponen los conceptos previos que serán necesarios para el desarrollo de los siguientes capítulos: Se presentan los conceptos básicos relacionados con métodos de punto fijo, se muestran los esquemas clásicos que trataremos en esta memoria, y finalmente se introducen las herramientas del cálculo fraccionario que serán necesarias para el diseño de procedimientos iterativos fraccionarios. En el Capítulo 3 se diseñan métodos fraccionarios (o esquemas con derivadas fraccionarias) de tipo Newton-Raphson escalares con las derivadas de Caputo, de Riemann Liouville y la conformable. También diseñamos esquemas fraccionarios de Newton-Raphson escalares de mayor orden. Finalmente, realizamos el análisis de convergencia de dichos procedimientos y estudiamos su estabilidad. En el Capítulo 4 se diseña la versión vectorial del método de Newton-Raphson conformable visto en el Capítulo 3. Antes, es necesario definir nuevos conceptos y establecer nuevos resultados que serán necesarios para el dersarrollo de este esquema. Finalmente, realizamos el análisis de convergencia y estudiamos su estabilidad. En el Capítulo 5 se diseñan procedimientos fraccionarios de tipo Traub escalares con derivadas de Caputo y de Riemann-Liouville. También se diseña una técnica general para obtener la versión fraccionaria conformable escalar de cualquier método clásico, y se usa esta técnica para diseñar algunos esquemas conformables multipunto escalares: de tipos Traub, Chun-Kim, Ostrowski y Chun. Por último, se realiza el análisis de convergencia y se estudia la estabilidad de tales procedimientos. En el Capítulo 6 se diseñan métodos fraccionarios libres de derivadas escalares de tipos Steffensen y Secante (el cual tiene memoria), donde es necesario la aproximación de derivadas conformables. Aquí se usa la técnica general propuesta en el Capítulo 5 para obtener la versión conformable de cada esquema. Finalmente, realizamos el análisis de convergencia y se estudia la estabilidad de dichos procedimientos. En el Capítulo 7 se presentan las conclusiones y líneas futuras de investigación.[CA] El càlcul fraccionari és una extensió del càlcul clàssic, on l'ordre de les derivades o integrals és un nombre real. Hui dia, el càlcul fraccionari té nombroses aplicacions en ciències i enginyeria. La principal raó és el major grau de llibertat de les eines del càlcul fraccionari en comparació amb les eines del càlcul clàssic. Molts problemes reals es modelen per mitjà d'equacions diferencials fraccionàries no lineals el sistema d'equacions de les quals és no lineal, i per tant, és convenient que s'adapten procediments iteratius per a resoldre problemes no lineals amb l'ús de derivades fraccionàries, i observar quina és la conseqüència en la convergència d'aquest mètode. En aquesta Tesi Doctoral dissenyem nous procediments iteratius amb derivades fraccionàries (o la seua aproximació) que almenys igualen als mètodes clàssics en termes d'ordre de convergència, mitjançant la introducció de les derivades fraccionàries de Riemann-Liouville, de Caputo i conformable (o les seues aproximacions). També, proposem estudiar l'estabilitat d'aquests esquemes amb l'ús de plans de convergència, i plans dinàmics en alguns casos. Finalment, pretenem dissenyar una tècnica que ens permeta obtindre la versió fraccionària conformable (o versió amb derivada conformable o la seua aproximació) de qualsevol procediment iteratiu clàssic per a problemes no lineals. En el Capítol 2 s'exposen els conceptes previs que seran necessaris per al desenvolupament dels següents capítols: Es presenten els conceptes bàsics relacionats amb mètodes de punt fix, es mostren els esquemes clàssics que tractarem en aquesta memòria, i finalment s'introdueixen les eines del càlcul fraccionari que seran necessàries per al disseny de procediments iteratius fraccionaris. En el Capítol 3 es dissenyen mètodes fraccionaris (o esquemes amb derivades fraccionàries) de tipus Newton-Raphson escalars amb les derivades de Caputo, de Riemann Liouville i la conformable. També dissenyem esquemes fraccionaris de Newton-Raphson escalars de major ordre. Finalment, realitzem l'anàlisi de convergència d'aquests procediments i estudiem la seua estabilitat. En el Capítol 4 es dissenya la versió vectorial del mètode de Newton-Raphson conformable vist en el Capítol 3. Abans, és necessari definir nous conceptes i establir nous resultats que seran necessaris per al dersarrollo d'aquest esquema. Finalment, realitzem l'anàlisi de convergència i estudiem la seua estabilitat. En el Capítol 5 es dissenyen procediments fraccionaris de tipus Traub escalars amb derivades de Caputo i de Riemann-Liouville. També es dissenya una tècnica general per a obtindre la versió fraccionària conformable escalar de qualsevol mètode clàssic, i s'usa aquesta tècnica per a dissenyar alguns esquemes conformables multipunt escalars: de tipus Traub, Chun-Kim, Ostrowski i Chun. Finalment, es realitza l'anàlisi de convergència i s'estudia l'estabilitat de tals procediments. En el Capítol 6 es dissenyen mètodes fraccionaris lliures de derivades escalars de tipus Steffensen i Assecant (el qual té memòria), on és necessari l'aproximació de derivades conformables. Ací s'usa la tècnica general proposta en el Capítol 5 per a obtindre la versió conformable de cada esquema. Finalment, realitzem l'anàlisi de convergència i s'estudia l'estabilitat d'aquests procediments. En el Capítol 7 es presenten les conclusions i línies futures d'investigació.[EN] Fractional calculus is an extension of classical calculus, where the order of the derivatives or integrals is a real number. Today, fractional calculus has numerous applications in science and engineering. The main reason is the higher degree of freedom of the fractional calculus tools compared to the classical calculus tools. Many real problems are modeled by means of nonlinear fractional differential equations whose system of equations is nonlinear, and therefore it is convenient that iterative procedures are adapted to solve nonlinear problems with the use of fractional derivatives, and observe what the consequence is in the convergence of said method. In this Doctoral Thesis we design new iterative procedures with fractional derivatives (or their approximation) that are at least equal to the classical methods in terms of convergence order, by introducing the Riemann-Liouville, Caputo and conformable fractional derivatives (or their approximations). Also, we propose to study the stability of these schemes with the use of convergence planes, and dynamic planes in some cases. Finally, we intend to design a technique that allows us to obtain the conformable fractional version (or version with conformable derivative or its approximation) of any classical iterative procedure for nonlinear problems. In Chapter 2 the previous concepts that will be necessary for the development of the following chapters are exposed: The basic concepts related to fixed point methods are presented, the classic schemes that we will deal with in this memory are shown, and finally the tools of the fractional calculus that will be necessary for the design of fractional iterative procedures. In Chapter 3, scalar Newton-Raphson type fractional methods (or schemes with fractional derivatives) are designed with the Caputo, Riemann Liouville and conformable derivatives. We also design higher order scalar Newton-Raphson fractional schemes. Finally, we perform the convergence analysis of these procedures and study their stability. In Chapter 4, the vector version of the conformable Newton-Raphson method seen in Chapter 3 is designed. Before, it is necessary to define new concepts and establish new results that will be necessary for the development of this scheme. Finally, we perform the convergence analysis and study its stability. In Chapter 5, fractional procedures of the scalar Traub type with derivatives of Caputo and Riemann-Liouville are designed. A general technique is also designed to obtain the scalar conformable fractional version of any classical method, and this technique is used to design some scalar multipoint conformable schemes: of Traub, Chun-Kim, Ostrowski and Chun types. Finally, the convergence analysis is carried out and the stability of such procedures is studied. In Chapter 6 free fractional methods of scalar derivatives of Steffensen and Secant types (which has memory) are designed, where the conformable derivatives approximation is necessary. Here we use the general technique proposed in Chapter 5 to obtain the conformable version of each scheme. Finally, we carry out the convergence analysis and the stability of these procedures is studied. In Chapter 7 the conclusions and future lines of research are presented.Candelario Villalona, GG. (2023). Métodos iterativos fraccionarios para la resolución de ecuaciones y sistemas no lineales: diseño, análisis y estabilidad [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/19427