Estimación de modelos ARMA usando el modelo espacio de los estados

Para llevar a cabo un análisis de una serie temporal se debe desarrollar un modelo estadístico que se ajuste bien a la serie, es decir, que recoja sus características principales. El objetivo de este proyecto es, dada una serie temporal, estimar un modelo ARMA utilizando el modelo espacio de los estados. Los modelos ARMA fueron desarrollados por Box y Jenkins en 1970. Combinan una parte autorregresiva (AR), compuesta de una combinación lineal de los valores pasados que toma la variable de la serie (yt), y una parte de media móvil (MA), que predice el valor de yt a partir del ruido de predicciones anteriores. Se definen p y q como los parámetros que determinan el orden del modelo. Si q vale 0, se trata de un modelo puramente autorregresivo, expresado como AR(p), con los parámetros ϕ1, . . . , ϕp. En cambio, si p vale 0, se define como un modelo de media móvil MA(q), con el conjunto θ1, . . . , θq como parámetros. Cuando p y q toman un valor distinto de 0, se cuenta con un modelo ARMA(p,q). Estos modelos son aplicables a series estacionarias, caracterizadas por tener una media y varianza constantes. Sin embargo, la mayoría de las series temporales presentan tendencias, u otros patrones, que impiden que los datos se mantengan estables en torno a un nivel. Por esta razón, se definen los modelos ARIMA(p, d, q) para las series que no cumplen la condición de estacionariedad. Estos modelos tienen la misma naturaleza que los ARMA, simplemente se incluye el parámetro d, que indica el grado de diferenciación, que es la transformación que se aplica para que la serie sea estacionaria. Con el orden del modelo ARMA identificado, se realiza la estimación de sus parámetros. Para ello, se usa el modelo espacio de los estados, compuesto por dos ecuaciones, donde hay una variable de estado escondida, xt, que define la variable observada, yt. El modelo ARMA se transforma a este modelo para poder aplicar el filtro de Kalman, que realiza una estimación de los estados. Con este algoritmo se determina el valor de la función de verosimilitud, que indica como se ajusta el modelo a los datos de la serie para un vector de parámetros dado. De esta manera, con el método de Newton-Raphson, se realizan iteraciones, probando con diferentes valores para las componentes del vector, hasta que se alcanza un mínimo en la función de verosimilitud. En ese punto, se obtienen los valores de los parámetros más adecuados para los datos observados. Todo este proceso está desarrollado dentro de la función propiamente diseñada en el lenguaje de programación R, que se ha denominado estim_ARMA. A partir de unos valores iniciales de los parámetros, los datos de la serie temporal y los valores de p y q dados, se obtiene, mediante la ejecución de la función, una matriz resultado que reúne los parámetros estimados del modelo, con sus correspondientes errores estándar, intervalos de confianza y p-valores. Una vez se ha construido el modelo, se debe realizar una etapa de diagnosis para determinar si es un buen ajuste. En esta etapa, se replican los datos a partir del modelo estimado. Para ello, se utiliza de nuevo el filtro de Kalman, con el que se calculan los valores de la serie para cada momento t. Con los datos estimados, se obtienen los residuos del modelo, que son objeto de análisis. Para considerar el modelo como válido, los residuos se deben comportar como ruido blanco, es decir, no deben estar correlacionados. Además, en este proyecto se desarrolla un caso práctico para mostrar la metodología aplicada, el desempeño de la función diseñada y varios métodos de análisis de resultados. En definitiva, una buena modelización de la serie temporal permite comprender y analizar sus datos, además de poder predecir otros nuevos