Modelización y estudio de la dinámica de quimiostatos

El modelado y estudio matemático juegan un papel muy importante en la comprensión del mundo que nos rodea y sus fenómenos. Además de incluirse en diversas áreas, cada vez son más sus aplicaciones y líneas de investigación. Un claro ejemplo de la utilidad de las Matemáticas para la anticipación y evolución de fenómenos son los modelos de biorreactores. En este trabajo, nos enfocaremos en un tipo específico de biorreactor, el quimiostato. Los quimiostatos son sistemas utilizados principalmente en laboratorios para el cultivo y producción de microorganismos. Estos dispositivos cuentan con tres tanques conectados entre sí, que denominamos botella de alimentación, recipiente de cultivo y recipiente colector. Para una visión general de su funcionamiento, el alimento es trasladado de la botella de alimentación al tanque de cultivo, donde se llevará a cabo la reacción biológica, los microorganismos se alimentarán y producirá el crecimiento de la población. Además, para mantener el volumen de este recipiente constante, se sacará un exceso hacia el recipiente colector. Estos dispositivos han sido utilizados y estudiados desde su invención en los años 50, cuando inicialmente pretendían servir para la supervisión y el seguimiento del crecimiento de poblaciones microbianas, hasta su uso hoy en día en numerosos procesos y tan variados como el tratamiento de aguas residuales, energías renovables, producción de antibióticos o procesos de fermentación, entre otros. Asimismo, aplicando modelos matemáticos a estos sistemas experimentales es posible obtener una predicción basada en sus parámetros, notablemente fiable y realista, sobre la evolución de los nutrientes y las especies participantes, de modo que los científicos especialistas pueden servirse de estos datos para obtener la situación de cultivo deseada de manera eficaz y precisa. Los trabajos matemáticos sobre el quimiostato, basados en la conocida Teoría del quimiostato, cuentan con décadas de desarrollo e investigaciones. Más concretamente, parte de su interés radica en reproducir con gran exactitud experimentos reales y servir de base para abordar situaciones más complejas. En este proyecto, presentaremos más en detalle los principales aspectos biológicos de los quimiostatos y el estudio de su modelo como un sistema diferencial. Como resultado, obtendremos conclusiones sobre su existencia, unicidad, puntos de equilibrio y estabilidad, lo que nos permitirá establecer condiciones sobre la evolución de los microorganismos, especialmente para mejorar su desarrollo y evitar la extinción de los mismos. Por otra parte, estos modelos se aplicarán a experimentos que involucren tanto una como varias especies, lo que conducirá a conclusiones sobre la exclusión mutua y competición de varias especies. Finalmente, se presentarán simulaciones que ilustren cada caso en función de sus parámetros, teniendo en cuenta las interpretaciones, no sólo matemáticas, sino también biológicas de los resultados. ABSTRACT Mathematical models and numerical studies play an important role in understanding the world around us. Apart from being included in countless fields, their number of applications and research areas is continually expanding. Bioreactors are a clear example of the importance of Mathematics predicting the evolution of different phenomena. In this study, we focus on a kind of bioreactor, the chemostat. The chemostat is an experimental device used for microorganism cultures. These devices are composed by three interconnected tanks called feed bottle, culture vessel and collection vessel. For an overview of its operating mode, the nutrient is transferred from the feed bottle to the culture vessel, where biological reactions and species growth take place. Additionally, an excess is remove from the culture vessel to the collection vessel in order to maintain a constant volume. These devices have been subject of study since their invention in the 1950s when they were pretended to track the development of bacterial populations. Currently, they have considerable uses such as wastewater treatment processes, sustainable energies, antibiotic production and fermentation processes, to name just a few examples. Furthermore, the application of mathematical models in these laboratory systems will provide very reliable predictions of substrate and culture evolution based on specific parameters. Specialists can use these models to achieve the desired conditions of the experiment. The mathematical studies belonging to chemostats, which are based on the wellknown Chemostat Theory, have been investigated for many decades. Specifically, their interest lies in the accurate recreation of real situations and the possibility to approach more difficult cases. In this Degree Final Project, we introduce the most important biological aspects of chemostats as well as their modelling throught a system of differential equations. As a result, we will obtain relevant statements about existence, uniqueness, equilibriums and stability of solutions, in order to enhance the survival of the species. Moreover, we consider the case in which these models involve more than one species, that will reveal results of mutual exclusion and competition between them. Finally, we include numerical simulations of each result for a better understanding, in addition to their essential biological interpretations