Flow of polymer solutions through porous media : impact of pore-scale viscoelastic effects on Darcy-scale effective properties

L'écoulement de solutions de polymères à travers des milieux poreux est un problème riche en mécanique des fluides qui combine la complexité des écoulements à travers des structures poreuses à celle de la rhéologie non linéaire du fluide. De tels écoulements peuvent présenter des comportements particuliers sur une large gamme d'échelles. Malgré des efforts continus, une compréhension claire des mécanismes à petite échelle impliqués et de leur lien avec les phénomènes à plus grande échelle fait toujours défaut. Dans ce travail, notre objectif est d'étudier certains des phénomènes physiques à l'échelle des pores et de les relier aux propriétés à l'échelle de Darcy. Pour ce faire, nous avons simulé l'écoulement de fluides viscoélastiques à travers des milieux poreux modèles, tels que des réseaux de cylindres en 2D ou des empilements de sphères en 3D, en résolvant, par des méthodes haute performance les modèles Oldroyd-B, FENE-P et FENE-CR. Dans la première partie, nous présentons donc un nouveau schéma de projection à grille décalée pour les écoulements viscoélastiques, ainsi que sa validation dans les cas de la cavité entraînée et de l'écoulement autour d'un cylindre confiné. Nous montrons ainsi que ce schéma possède une semi-différenciation spatiale cohérente avec une estimation de l'énergie libre, maintient la positivité du tenseur de conformation, est bien adapté au calcul haute performance (HPC), montre une bonne précision et peut être facilement utilisé pour une variété de lois constitutives viscoélastiques. Dans la deuxième partie, nous utilisons cette approche numérique pour montrer que les zones localisées de grande contrainte polymérique, appelées brins biréfringents, pilotent l'écoulement d'un fluide Oldroyd-B à travers des réseaux de cylindres en 2D. Nous constatons que ces brins génèrent en effet une réorganisation complète de l'écoulement avec une augmentation des zones de stagnation, un renforcement des chemins préférentiels et une division des canaux d'écoulement. De plus, nous montrons que cette réorganisation génère une augmentation de la dissipation visqueuse du solvant et que l'étirement des molécules de polymère dans les brins est associé à une production d'entropie. Ces deux phénomènes conduisent ainsi à une augmentation globale de la dissipation qui peut être directement liée à l'augmentation de la résistance à l'écoulement. Dans la troisième partie, nous étudions l'écoulement à travers un réseau hexagonal 2D de cylindres pour large une gamme de nombres de Weissenberg et différentes orientations du terme de forçage qui génère l'écoulement. Nous montrons que les brins biréfringents contrôlent la direction de l'écoulement moyen. Ces brins ont également tendance à adhérer aux cylindres voisins, ce qui conduit à des directions d'écoulement privilégiées et à une succession de bifurcations lorsque l'on fait varier l'angle du terme de forçage. L'effet le plus marquant est la présence d'une tristabilité associée à une hystérésis sur l'angle. Nous démontrons en outre que l'apparition d'un écoulement instationnaire est associée au mouvement des différents brins du réseau qui ouvrent et referment successivement les canaux d'écoulement. Ceci fournit une nouvelle perspective sur les écoulements viscoélastiques instationnaires à travers les milieux poreux et peut aider à comprendre la transition vers le chaos. Dans la quatrième partie, nous dérivons une forme moyennée du modèle Oldroyd-B à l'échelle de Darcy. Pour ce faire, nous utilisons une forme de linéarisation du problème, en considérant une limite très diluée, et nous décomposons le problème initial en une séquence de problèmes à différents ordres. Cette limite est très différente de la limite du faible nombre de Weissenberg car elle peut capturer la formation de brins biréfringents. Nous procédons à la moyenne spatiale de chaque problème et dérivons le modèle moyen correspondant pour obtenir une forme modifiée de la loi de Darcy.The flow of polymer solutions through porous media is a rich problem in fluid mechanics, combining the complexity of flows through porous structures with the nonlinear rheology of the fluid. Such flows can display peculiar behaviours over a range of different scales. Despite continuous efforts, a clear picture of the small-scale mechanisms involved and their link with larger scale phenomena are still lacking. In this work, our goal is to study some of the physical phenomena at pore-scale and connect these to Darcy-scale properties. To do so, we simulated the flow of viscoelastic fluids through model porous structures, such as 2D arrays of cylinders or 3D packings of spheres, using high performance computations of Oldroyd-B, FENE-P and FENECR models. In the first part, we present a new staggered projection scheme for viscoelastic flows, along with validation cases for the lid-driven cavity problem and flow around a confined cylinder. We show that this scheme has a space semi- discretization that is consistent with a free-energy estimate, maintains the positivity of the conformation tensor, is well suited to high-performance computing (HPC), shows good accuracy and can be readily used for a variety of viscoelastic constitutive laws.In the second part, we use this numerical approach to show that localized zones of large polymeric stress, known as birefringent strands, drive the flow of an Oldroyd-B fluid through 2D arrays of cylinders. We found that these strands generate a complete reorganization of the flow with an increase of stagnation zones, a reinforcement of preferential paths and a splitting of flow channels. Furthermore, we showed that this reorganization is the source of an increase in the viscous dissipation of the solvent and also that the stretching of polymer molecules in the strands is associated with entropy production. Both these phenomena lead to a global increase in dissipation that can be directly linked with the increase of flow resistance. In a third part, we study the flow through a 2D hexagonal lattice of cylinders for a range of Weissenberg numbers and different orientations of the forcing term generating flow. We show that birefringent strands control the direction of the average flow. These strands also tend to stick to neighbouring cylinders, leading to preferential flow directions and a succession of bifurcations when varying the angle of the forcing term. The most striking effect is tristability and hysteresis in the staggered configuration. We further demonstrate that the onset of unsteady flow is associated with movement of the different strands in the network that are successively opening and closing flow channels. This provides a new perspective on unsteady viscoelastic flows through porous media and may help in understanding the transition to chaos. In the fourth part, we derive an average form of the Oldroyd-B model at Darcy-scale. To do this, we use some form of linearization of the problem, considering a highly diluted limit, and decompose the initial problem in a sequence of problems at different orders. This limit is very different from the low Weissenberg number limit because it can capture the formation of birefringent strands. We proceed to averaging each problem in space and deriving the corresponding average model to obtain a modified form of Darcy’s law. 2D viscoelastic flows in arrays of cylinders have received a lot of interest, in particular in a series of recent experimental works, and they have helped us understand fundamental aspects of such flows. However, flows through 2D and 3D structures are fundamentally different. In the last part of this work, we thus present preliminary results for viscoelastic flows through 3D packings of spheres. Such structures lead to localized regions of stress that can be thought of as 1D strands and 2D hyperplanes. This raises important questions about how viscoelastic flows are affected by the dimensionality