Fast Marching method for the computation of first-arrival travel time of seismic waves in anisotropic media

Le temps de première arrivée pour la propagation d'une onde, dans l'approximation haute fréquence, est décrit par l'équation eikonale, ou éventuellement une variante dont les coefficients dépendent des propriétés du milieu. Nous présentons des schémas numériques pour le calcul de la solution de ces équations eikonales. Ces schémas numériques reposent sur la méthode du Fast Marching (FMM), généralisée à des contextes complexes mettant en jeu de l'anisotropie non riemannienne dans des milieux 3D. La FMM est une méthode en une seule passe, dans laquelle le front de propagation est discrétisé et suivi dans tout le milieu, ce qui permet un temps de calcul rapide. Nous explorons également un paradigme opposé pour un calcul de haute performance, qui repose sur un solveur GPU massivement parallèle.En particulier, nous considérons le cas d'ondes de pression sismiques se propageant dans un milieu géophysique, avec une vitesse de propagation définie par un tenseur de Hooke anisotrope. Dans ce contexte de géophysique, nous proposons deux schémas numériques, généralisant les idées des schémas précédents et appelés schéma ``semi-lagrangien'' et schéma ``eulérien''.Le schéma semi-lagrangien peut traiter une anisotropie de forme complètement générale, mais avec une limitation liée à la force de l'anisotropie, définie comme le rapport entre la vitesse la plus rapide et la plus lente réalisable en fonction de l'orientation. Un examen des propriétés d'anisotropie connues et répertoriées des matériaux géologiques suggère que la méthode est applicable dans la plupart des scénarios d'intérêt. Nous examinons également comment la limitation du schéma semi-lagrangien peut être supprimée en 2D en concevant des stencils géométriques 2D adaptés à l'anisotropie, et nous étudions le pire cas et le cas moyen pour la cardinalité des stencils conçus par cet algorithme.D'autre part, le schéma eulérien est limité à l'anisotropie provenant d'un milieu TTI (Tilted Transversely Isotropic) et ne peut pas gérer des paramètres élastiques plus complexes, mais il n'a aucune limitation sur la force de l'anisotropie. Il fonctionne en exprimant l'équation eikonale TTI comme un maximum ou un minimum d'une famille d'équations eikonales riemanniennes, pour lesquelles des discrétisations efficaces sont connues. Nous considérons également une mise en œuvre du schéma eulérien sur des architectures massivement parallèles, conduisant à un calcul cinquante fois plus rapide que la mise en oeuvre séquentielle de la FMM, en utilisant un seul noeud de GPU. Enfin, en utilisant des méthodes numériques similaires dans un contexte différent, nous étudions une application du schéma eulérien à un problème inverse impliquant la planification du mouvement pour l'optimisation de la configuration d'un réseau radar.The first arrival traveltime for the propagation of a wave, in the high frequency approximation, is described by the eikonal equation, or possibly a variant with coefficients depending on the medium properties. We present numerical schemes for the computation of the solution to such eikonal equations. These numerical schemes are based on the Fast Marching method (FMM), generalized to complex and non-Riemannian anisotropy settings in 3D media. The FMM is a single pass method, in which the propagation front is discretized and followed throughout the medium, leading to fast computation time. We also explore an opposite paradigm for high performance computation, based on a massively parallel GPU solver.In particular, we consider the case of seismic pressure waves propagating inside a geophysical medium, with a propagation speed defined by an anisotropic Hooke tensor. In this context of geophysics, we propose two numerical schemes, generalizing ideas from previous schemes and referred to as ``semi-Lagrangian'' scheme and ``Eulerian'' scheme.The semi-Lagrangian scheme can handle anisotropy of fully general shape, but with a limitation based on the strength of the anisotropy, defined as the ratio between the fastest and slowest speed achievable depending on the orientation. A review of the known and tabulated anisotropy properties of geological materials suggests that the method is applicable in most scenarios of interest. We also consider how the limitation of the semi-Lagrangian scheme can be removed in 2D by designing geometric 2D stencils adapted to the anisotropy, and we study the worst case and average case for the cardinality of the stencils designed by this algorithm.On the other hand, the Eulerian scheme is limited to anisotropy coming from a Tilted Transversely Isotropic (TTI) medium and cannot handle more complex elastic parameters, but it does not have any limitation on the strength of the anisotropy. It works by expressing the TTI eikonal equation as a maximum or minimum of a family of Riemannian eikonal equations, for which efficient discretizations are known. We also consider an implementation of the Eulerian scheme to massively parallel architectures, leading to a computation fifty times faster than the sequential FMM implementation, using a single GPU node. Besides, leveraging similar numerical methods in a different context, we study an application of the Eulerian scheme to an inverse problem involving motion planning for the optimization of the configuration of a radar network