Algebraic singularities and symplectic domains

L’objectif de cette thèse est d’approfondir les liens mis en lumière par McDuff-Polterovic, Biran et Opshtein entre l’existence de plongements de domaines symplectiques dans une variété symplectique et l’existence de courbes symplectiques réalisant des singularités algébriques planes isolées dans ces variétés. Pour ce faire, on rappelle dans un premier temps des notions essentielles de géométrie symplectique : courbes J-holomorphes, inflations, et des techniques algébriques : résolution de singularité algébrique. Dans un second temps on explique comment construire un analogue symplectique de la résolution algébrique permettant de construire une forme symplectique sur un éclatement algébrique et comment itérer ce procédé afin de résoudre une singularité algébrique réalisée par une courbe symplectique de sorte que le diviseur exceptionnel soit symplectique à croisements normaux et tel que la courbe résolu soit symplectique. Dans une troisième partie on explique comment construire un domaine symplectique associé à un diviseur exceptionnel à l’aide d’un analogue symplectique de la contraction algébrique et on donne leurs propriétés. Dans une quatrième partie on démontre les résultats principaux de la thèse. Enfin, on donne quelques exemples de correspondances domaines-singularités et on montre notamment que tout domaine torique concave peut-être associé à une singularité plane et on exhibe un domaine qui semble ne pas en être un.The aim of this thesis is to deepen the links highighted by McDuff-Polterovic, Biran and Opshtein between the existence of the symplectic embedding of a domain into a symplectic manifold and the existence of symplectic curves realizing isolated planar algebraic singularity in such a manifold. For this, we first recall some essentials notions of symplectic geometry, such as J-holomorphic curves and inflation technics, and the technic of algebraic resolution of singularities. Secondly, we explain how to build symplectic analogue of algebraic resolution that allows us to endow a complexe blow-up with a symplectic form such that the exceptional divisor is symplectic with normal crossings and such that the resolved curve is also symplectic. In a third part, we explain how the symplectic analogue of the algebraic blow-down allows us to build a symplectic domain associated to the exceptional divisor and we give its properties. In the fourth part, we prove the main theorems of the thesis. Finally, we give some example of correspondence between singularities and domains and we show in particular that any concave toric domain can be associated with a planar algebraic singularity and we exhibit a domain that may not be a concave toric domain