Limit theorems in large population for a spatial stochastic epidemic model with mean field interaction

Dans cette thèse, nous étudions un modèle épidémique spatial stochastique où les individus sont caractérisés par leur position et leur état d'infection. Nous commençons par une description microscopique dans laquelle le déplacement des individus est piloté par des interactions de champ moyen, une diffusion dépendant de l'état de l'individu et un bruit environnemental commun. L'évolution des états épidémiologiques est décrite par des processus ponctuels de Poisson avec un taux d'infection dépendant de la distribution des autres individus proches, également de type champ moyen. Dans le premier travail, nous établissons un résultat de propagation conditionnelle du chaos, qui stipule que conditionnellement au bruit commun, les individus sont asymptotiquement indépendants. En conséquence, la mesure empirique associée converge vers une mesure, qui est la solution d'une EDP stochastique pilotée par le bruit commun. C'est un résultat de type loi des grands nombres, ici dans une version quantitative. Ensuite, en l'absence de bruit commun, nous étudions la fluctuation de la mesure empirique associée au système ci-dessus autour de sa limite, et nous prouvons ici un théorème central limite (TCL) pour ce modèle. Nous prouvons que ces fluctuations convergent vers un processus limite, qui peut être caractérisé comme l'unique solution d'une EDP stochastique linéaire. Une difficulté technique surgit dans la preuve du TCL, liée aux estimations de régularité d'un semi-groupe de diffusion dans des espaces de Sobolev pondérés. C'est aussi l'objet du travail du dernier chapitre de prouver ce résultat, qui semble avoir une utilité indépendante de son utilisation dans notre preuve du TCLIn this dissertation, we study a stochastic spatial epidemic model where the individuals are characterized by their position and infection state. We begin with a microscopic description in which the displacement of individuals is driven by mean-field interactions, a state-dependent diffusion and a common environmental noise. The evolution of epidemiological states is described by Poisson point processes with an infection rate depending on the distribution of other nearby individuals, also of the mean-field type. Then, we study the behavior of this system at the macroscopic level when the population size tends to infinity. In the first work, we establish a conditional propagation of chaos result, which states that conditionally to the common noise, the individuals are asymptotically independent. As a consequence, the associated empirical measure converges to a measure, which is solution of a stochastic mean-field PDE driven by the common noise. This convergence result is a quantitative version of the law of large numbers (LLN).Next, in the absence of common noise, we study the fluctuation of the empirical measure associated to the above system around its LLN limit, and we prove a central limit theorem (CLT) for this model. We prove that this fluctuation process converges to a limit process, which can be characterized as the unique solution of a linear stochastic PDE. A technical difficulty arises in the proof of the CLT, related to the regularity estimates of a diffusion semigroup in weighted Sobolev spaces. It is the object of the last chapter to prove this result, which seems to have utilities independently of its use in our proof of the CL