Transport optimal semi-discret symétrique pour l'interpolation de maillages

Cette thèse a pour but de développer des méthodes géométriques pour approximer l'interpolation de déplacement, issue du transport optimal. Le transport optimal est une théorie mathématiques modélisant des déplacements de matière sous une contrainte de minimisation de coût, avec de nombreuses applications en physique, en informatique graphique et en géométrie. Le coût minimal du déplacement entre deux distributions définit une distance, qui elle-même est à l'origine de l'interpolation de déplacement. Ces interpolations peuvent sous certaines conditions présenter des discontinuités, que les approximations discrétisées du transport optimal n'arrivent pas toujours à bien capturer. Le travail de cette thèse vise à développer une approximation qui capture bien ces discontinuités. Notre méthode s'appuie sur le transport optimal semi-discret, où seul l'une des distributions est discrétisée, capturant ainsi avec précision les discontinuités de la distribution restée continue. Les plans de transport ainsi obtenus partitionnent la distribution continue en cellules associées aux échantillons de la discrétisation. Cette variante du transport optimal a cependant l'inconvénient de briser la symétrie entre les deux distributions. Nous commençons par présenter une approche réintroduisant cette symétrie, en calculant deux plans de transport couplés par le biais des barycentres de leurs cellules. Nous présentons ensuite un premier algorithme pour le calcul de ces plans de transport couplés. Il repose sur un schéma classique d'algorithme alterné, calculant successivement des plans de transport et les barycentres de leur cellules jusqu'à convergence. Les résultats obtenus à partir de cet algorithme permettent d'interpoler entre les distributions initiales en conservant une précision satisfaisante, en particulier au niveau des discontinuités, et y compris lorsque la discrétisation des distributions est faites avec relativement peu de points. Nous présentons ensuite notre exploration de méthodes d'optimisation pour résoudre le même problème. Ces méthodes expriment les contraintes de notre problème comme un optimum ou un point critique d'une fonctionnelle, et cherchent à atteindre ces points à l'aide d'algorithmes tels que la descente de gradient ou l'algorithme de Newton. Cette approche n'a cependant pas donné de résultats concluants, les fonctions considérées étant trop bruitées pour se prêter à des algorithmes d'optimisation.This thesis aims to develop geometric methods to approximate displacement interpolation, derived from optimal transport. Optimal transport is a mathematical theory modeling movements of matter under a cost minimization constraint, with many applications in physics, computer graphics and geometry. The minimum displacement cost between two distributions defines a distance, which itself is at the origin of displacement interpolation. This interpolation may under certain conditions present discontinuities, that the discretized approximations of the optimal transport do not always successfully capture. The work of this thesis aims to develop an approximation that captures these discontinuities well. Our method relies on semi-discrete optimal transport, where only one of the distributions is discretized, thus accurately capturing the discontinuities of the distribution that remains continuous. The transport plans thus obtained partition the continuous distribution into cells associated with the samples of the discretization. This variant of optimal transport however has the disadvantage of breaking the symmetry between the two distributions. We start by presenting an approach reintroducing this symmetry, by calculating two transport plans coupled through the barycenters of their cells. We then present a first algorithm for calculating these coupled transport plans. This first algorithm is based on a classical alternating algorithm scheme, successively computing the transport plans and the barycenters of their cells until convergence. The results obtained from this algorithm allow to interpolate between the initial distributions while maintaining a satisfactory precision, in particular when it comes to discontinuities, including when the discretization of the distributions is done with relatively few points. We then present our exploration of optimization methods for solving the same problem. These methods express the constraints of our problem as an optimum or a critical point of a functional, and aim to reach these points using algorithms such as gradient descent or Newton's method. However, this approach did not yield conclusive results, as the functions involved were too noisy to lend themselves well to optimization algorithms