Reachability analysis with Lebesgue-integrable time-varying uncertainties

L'analyse d'atteignabilité, technique calculant l'ensemble des états atteignables d'un système, permet de prouver des propriétés de sûreté. Ce calcul exact étant impossible dans le cas général, nous calculons des sur-approximations, i.e. ensembles garantis de contenir l'ensemble des états atteignables. Ces calculs sont complexes à cause d'incertitudes variant dans le temps qui permettent de modéliser l'environnement dans lequel évolue le système étudié. Dans ce travail, nous nous intéressons à la gestion d'incertitudes bornées intégrables au sens de Lebesgue, qui le cas le plus général étudié dans l'état de l'art. Certaines méthodes permettent déjà de les prendre en compte mais elles produisent généralement de larges sur-approximations lorsque les ensembles de valeurs des incertitudes sont grands.Nous prouvons que, sous certaines hypothèses, des fonctions ensemblistes contractées par une version ensembliste de l'opérateur de Picard associé à un problème de Cauchy sont des sur-approximations des ensembles d'états atteignables en fonction du temps. Cela prouve en particulier que des intervalles contractés par un tel opérateur sont des sur-approximations valides dans le cas général d'incertitudes bornées intégrables au sens de Lebesgue.Nous proposons ensuite un nouvel algorithme basé sur une décomposition en fonctions positives des équations différentielles dans le cas des systèmes que nous nommons "séparables par rapport aux incertitudes variables dans le temps", une généralisation des systèmes affines par rapport aux contrôles. Un prototype illustre la précision de cet algorithme par rapport à ceux implémentés dans les outils de l'état de l'art.Enfin, nous présentons les implications de l'adaptation d'outils de simulations de systèmes hybrides pour effectuer des analyses d'atteignabilité. Nous nous concentrons sur le langage Zélus qui permet de modéliser des systèmes déterministes en exécutant les dynamiques discrètes aux instants de changement de signe de signaux continus. Nous proposons une paramétrisation des modèles intermédiaires générés par son compilateur et nous illustrons la faisabilité de cette méthode avec un prototype exécuté sur un modèle intermédiaire généré manuellement.Reachability analysis, a technique computing the set of reachable states of a system, allows to prove safety properties. The exact computation being impossible in the general case, we compute over-approximations, i.e. sets guaranteed to contain all the reachable states. These computations are complex due to time-varying uncertainties that allow to model the environment in which the studied system evolves. In this work, we focus on handling uncertainties that are bounded and integrable in the sense of Lebesgue, which is the most general case studied in the state-of-the-art. Some methods exist to handle such uncertainties, but they often produce huge over-approximations when the set of values of the uncertainties is large.We prove, under some assumptions, that set-valued functions contracted by a set-valued version of the Picard's operator associated to an initial value problem are over-approximations of the set of reachable states over time. In particular, it proves that intervals contracted by such an operator are valid over-approximations in the general case of bounded Lebesgue-integrable uncertainties.Then, we propose an algorithm based on a decomposition as difference of non-negative functions of the differential equations in the case of systems that we called "separable with respect to uncertainties", a generalization of the control-affine systems. A prototype illustrates the accuracy of the algorithm compared to the ones implemented in state-of-the-art tools.Finally, we present the implications of adaptations of tools for the simulation of hybrid systems to allow the computation of reachability analyses. We focus on the Zélus language, which allows to model deterministic systems by triggering discrete dynamics by zero-crossing continuous signals. We propose a parameterization of the intermediate models that are generated by the compiler and we illustrate the feasibility of this method with a prototype executed on an intermediate model written by hand