Construction of Anosov flows in dimension 3 by gluing blocks

On s'intéresse aux flots d'Anosov, qui forment une famille très importante de systèmes dynamiques chaotiques. La stabilité structurelle de ces flots en fait des candidats privilégiés à une classification des classes d'équivalence orbitale, ce qui est encore aujourd'hui la motivation de nombreux travaux. Les flots d'Anosov sont également remarquables pour les interactions qui apparaissent entre la dynamique du flot et la topologie de la variété qui le porte, et ce particulièrement en dimension trois. Cette thèse s'inscrit dans cet angle d'étude. L'objet principal de cette thèse est de démontrer un résultat permettant de construire des flots d'Anosov en dimension trois en recollant des blocs de constructions. Pour nous, un bloc de construction sera une variété de dimension trois compacte à bord, munie d'un champ de vecteurs, tel que l'ensemble maximal invariant du flot engendré est hyperbolique, et dont le bord est quasi-transverse au champ de vecteurs, c'est-à-dire transverse en dehors d'un nombre fini d'orbites périodiques contenues dans le bord. Dans la première partie de cette thèse, on montre qu'il existe des conditions générales suffisantes pour recoller les bords de blocs de construction et obtenir une variété fermée munie d'un flot d'Anosov induit par le champ de vecteurs initial. Ce théorème de recollement généralise un théorème prouvé il y a quelques années par F. Béguin, C. Bonatti et B. Yu qui considéraient seulement des blocs de constructions dont le bord est transverse au champ de vecteurs. Cette généralisation est naturelle dans la mesure où T. Barbot et S. Fenley ont montré que tout tore incompressible plongé dans un flot d'Anosov en dimension trois est homotope à un tore quasi-transverse au flot. Ce résultat, allié à la décomposition JSJ des variétés de dimension trois permet d'obtenir (modulo des éventuelles singularités) un découpage canonique d'un flot d'Anosov en blocs de construction dont le bord est quasi-transverse au flot. Notre théorème de recollement peut alors se voir comme une sorte de réciproque du théorème de décomposition de T. Barbot et S. Fenley. Dans une seconde partie, on étudie les applications de ce théorème de recollement. On montre un résultat de réalisation de bi-feuilletage quasi-transverse sur un tore incompressible plongé dans un flot d'Anosov transitif. On étudie les propriétés dynamiques des blocs de constructions, et l'on donne un critère nécessaire et suffisant pour qu'un type géométrique abstrait soit réalisé sur une partition de Markov dans un bloc de construction vérifiant de bonnes propriétés. On montre que l'on peut réaliser des complémentaires d'orbites périodiques de flot d'Anosov ou pseudo-Anosov en tant que pièces JSJ de flot d'Anosov transitif. Pour finir on montre que l'on peut, sous des conditions minimales, recoller des pièces découpées le long d'une collection de tores incompressibles plongés dans un flot d'Anosov alignable penché.In this thesis, we are concerned with Anosov flows, a very important family of chaotic dynamical systems. As these flows are structurally stable, one would hope to obtain a complete classification of their orbital equivalence classes, indeed this goal continues to motivate reseachers. Anosov flows showcase also remarkable interactions between the dynamics of the flow and the topology of the underlying manifold, specifically in dimension three. In short, the primary goal of this thesis is to prove a result allowing one to construct Anosov flows in dimension three by gluing building blocks. In our setting, a building block is a compact three-manifold with boundary equipped with a vector field, such that the maximal invariant of the generated flow is hyperbolic, and whose boundary is quasi-transverse to the vector field, i.e. transverse except for a finite number of periodic orbits contained in the boundary. In the first part of this thesis, we provide sufficient conditions to glue the boundary components of building blocks, so that the resulting manifold is closed and equipped with an Anosov flow induced by the initial vector field. This gluing theorem generalizes a recent result of F. Béguin, C. Bonatti, and B. Yu. Their result only applied to building blocks whose boundary is transverse to the vector field. Our generalization is natural since T. Barbot and S. Fenley have shown that every incompressible torus embedded in a three-dimensional Anosov flow is homotopic to a torus that is quasi-transverse to the flow. Together with the JSJ decomposition of three-manifolds, this result implies (passing over some possible singularities) a canonical decomposition of Anosov flows into building blocks with quasi-transverse boundaries. Our gluing theorem can thus be seen as a kind of converse to this decomposition theorem of T. Barbot et S. Fenley. In the second part, we study applications of this gluing theorem. We show a realization result for quasi-transverse bi-foliations on an incompressible torus embedded in a transitive Anosov flow. We study the dynamical properties of building blocks, giving necessary and sufficient criterion for an abstract geometric type to be realized on a Markov partition in a well-behaved building block. We then show that one can realize complementaries of periodic orbits of an Anosov or pseudo-Anosov flow as JSJ pieces of a transitive Anosov flow. Finally, we show that, under minimal conditions, one can glue pieces cut along a collection of incompressible tori embedded in a skewed R-covered Anosov flow