Descente en théorie de Hodge p-adique et applications

We develop and study three instances for descent in p-adic Hodge theory. In the first part, we establish a cohomological descent for Faltings' p-adic Hodge theory. Faltings' approach in p-adic Hodge theory can be schematically divided into two main steps: firstly, a local reduction of the computation of the p-adic étale cohomology of a smooth variety over a p-adic local field to a Galois cohomology computation and then, the establishment of a link between the latter and differential forms. These relations are organized through Faltings ringed topos whose definition relies on the choice of an integral model of the variety, and whose good properties depend on the (logarithmic) smoothness of this model. Our cohomological descent result for the structural sheaf of Faltings topos makes it possible to extend Faltings' approach to any integral model, i.e. without any smoothness assumption. An essential ingredient of our proof is a descent result of perfectoid algebras in the arc-topology due to Bhatt-Scholze. As an application of our cohomological descent, using a variant of de Jong's alteration theorem for morphisms of schemes due to Gabber-Illusie-Temkin, we generalize Faltings' main p-adic comparison theorem to any proper and finitely presented morphism of coherent schemes over an absolute integral closure of Z_p (without any assumption of smoothness) for torsion étale sheaves (not necessarily finite locally constant). As a second application, we prove a local version of the relative Hodge-Tate filtration as a consequence of the global version constructed by Abbes-Gros. In the second part, we extend Sen's theory to p-adic affine varieties with semi-stable charts. Any finite-dimensional p-adic representation of the absolute Galois group of a p-adic local field with imperfect residue field is characterized by its arithmetic and geometric Sen operators defined by Sen and Brinon. We generalize their construction to the fundamental group of a p-adic affine variety with a semi-stable chart, and give a canonical formation of Sen's theory independently of the choice of the chart, which is even new in the case of local fields. Our construction relies on a descent theorem in the p-adic Simpson correspondence developed by Tsuji. When the representation comes from a Q_p-representation of a p-adic analytic group quotient of the fundamental group, we describe its Lie algebra action in terms of the Sen operators, which is a generalization of a result of Sen and Ohkubo. These Sen operators can be extended continuously to certain infinite-dimensional representations. As an application, we prove that the geometric Sen operators annihilate locally analytic vectors, generalizing a result of Pan. In the third part, for a flat proper morphism of finite presentation between schemes with almost coherent structural sheaves (in the sense of Faltings), we prove that the higher direct images of quasi-coherent and almost coherent modules are quasi-coherent and almost coherent. Our proof uses a Noetherian approximation in the context of Faltings' almost algebra, inspired by Kiehl's proof of the pseudo-coherence of higher direct images. Our result allows us to extend Abbes-Gros' proof of Faltings' main p-adic comparison theorem in the relative case for projective log-smooth morphisms of schemes to proper ones, and thus also their construction of the relative Hodge-Tate spectral sequence.Nous développons et étudions trois instances de la descente en théorie de Hodge p-adique. Dans la première partie, nous établissons une descente cohomologique pour la théorie de Hodge p-adique de Faltings. L'approche de Faltings de la théorie de Hodge p-adique peut être schématiquement divisée en deux étapes principales : premièrement, une réduction locale du calcul de la cohomologie étale p-adique d'une variété lisse sur un corps local p-adique à un calcul de cohomologie galoisienne puis, l'établissement d'un lien entre ce dernier et les différentielles. Ces relations sont organisées au travers du topos annelé de Faltings dont la définition dépend du choix d'un modèle entier de la variété, et dont les bonnes propriétés dépendent de la lissité (logarithmique) de ce modèle. Notre résultat de descente cohomologique pour le faisceau structural du topos de Faltings permet d'étendre l'approche de Faltings à tout modèle entier, c'est-à-dire sans hypothèse de lissité. Un ingrédient essentiel de notre preuve est un résultat de descente d'algèbres perfectoïdes en topologie des arcs dû à Bhatt-Scholze. Comme première application de notre descente cohomologique, en utilisant une variante du théorème d'altération de de Jong pour les morphismes de schémas due à Gabber-Illusie-Temkin, nous généralisons le principal théorème de comparaison p-adique de Faltings à tout morphisme propre et de présentation finie de schémas cohérents sur une clôture intégrale absolue de Z_p (sans aucune hypothèse de lissité) pour des faisceaux étales de torsion (pas nécessairement localement constants constructibles). Comme deuxième application, nous prouvons une version locale de la filtration relative de Hodge-Tate comme conséquence de la version globale construite par Abbes-Gros. Dans la deuxième partie, nous étendons la théorie de Sen aux variétés affines p-adiques admettant des cartes semi-stables. Toute représentation p-adique de dimension finie du groupe de Galois absolu d'un corps local p-adique à corps résiduel imparfait est caractérisée par ses opérateurs arithmétique et géométriques de Sen définis par Sen et Brinon. Nous généralisons leur construction au groupe fondamental d'une variété affine p-adique admettant une carte semi-stable, et donnons une formulation canonique de la théorie de Sen indépendamment du choix de la carte, ce qui est nouveau même dans le cas des corps locaux. Notre construction dépend d'un théorème de descente pour la correspondance de Simpson p-adique développée par Tsuji. Lorsque la représentation provient d'une Q_p-représentation d'un groupe analytique p-adique quotient du groupe fondamental, nous décrivons l'action de son algèbre de Lie en termes d'opérateurs de Sen. C'est une généralisation d'un résultat de Sen et Ohkubo. Ces opérateurs de Sen peuvent être étendus continûment à certaines représentations de dimension infinie. Comme application, nous prouvons que les opérateurs géométriques de Sen annulent les vecteurs localement analytiques, généralisant un résultat de Pan. Dans la troisième partie, pour un morphisme propre, plat et de présentation finie entre schémas à faisceaux structuraux presque-cohérents (au sens de Faltings), nous prouvons que les images directes supérieures de modules quasi-cohérents et presque-cohérents sont quasi-cohérents et presque-cohérents. Notre preuve utilise une approximation noethérienne dans le contexte de la presque-algèbre de Faltings, inspirée de la preuve de Kiehl de la pseudo-cohérence des images directes supérieures. Notre résultat nous permet d'étendre la preuve d'Abbes-Gros du principal théorème de comparaison p-adique de Faltings dans le cas relatif des morphismes log-lisses projectifs de schémas au cas des morphismes log-lisses propres, et donc aussi leur construction de la suite spectrale de Hodge-Tate relative