Neurogéométrie du reaching

The purpose of the thesis is to develop a model for the functional behaviour of neurons in the primary motor cortex (M1) responsible for arm reaching movements. From Georgopoulos neurophysiological data, we provide a first bundle structure compatible with the hypercolumnar organization and with the position-direction selectivity of motor cortical cells. We then extend this model to encode the direction of arm movement which varies in time, as experimentally measured by Hatsopoulos by introducing the notion of movement fragments. We provide a sub-Riemannian model which describes the time-dependent directional selectivity of cells though integral curves of the geometric structure we set up. The sub-Riemannian distance we define allows to implement a grouping algorithm able to detect a set of hand motor trajectories. These paths, identified by using a kernel defined in terms of kinematic variables, are compatible with the motor primitives obtained from neurophysiological results by spectral analysis applied directly on cortical variables. In a second part of the work, we propose geodesics in this space as an alternative model of models for arm movement trajectories. We define a special class of curves, called admissible, on which to study the geodesics problem: we provide a connectivity property in terms of admissible paths and the existence of normal length minimizers. Admissible geodesics are used as a model of reaching paths, finding a first validation through Flash and Hogan minimizing trajectories.L'objectif de la thèse est de développer un modèle pour le comportement fonctionnel des neurones du cortex moteur primaire (M1) responsables des mouvements d'atteinte du bras. A partir des données neurophysiologiques de Georgopoulos, nous fournissons une première structure de fibré compatible avec l'organisation en hypercolonnes et avec la sélectivité position-direction des cellules corticales. Nous étendons ensuite ce modèle pour encoder la direction du mouvement du bras qui varie dans le temps, comme mesuré expérimentalement par Hatsopoulos en introduisant la notion de fragments de mouvement. Nous fournissons un modèle sous-riemannien décrivant la sélectivité directionnelle des cellules en fonction du temps via des courbes intégrales de la structure géométrique que nous avons développée. La distance sous-riemannienne que nous définissons permet ensuite d'implémenter un algorithme de clustering capable d'identifier un ensemble de trajectoires de mouvements du bras. Ces trajectoires, identifiées à l'aide d'un kernel défini en termes de variables cinématiques, s'avèrent compatibles avec les états de cohérence de groupes de neurones détectés par des données neurophysiologiques. Ces derniers sont représentés par des séquences de trajectoires obtenues au moyen d'un modèle d'analyse en composantes principales appliqué directement à l'activité neuronale. Dans une seconde partie du travail, nous proposons une classe des géodésiques dans cet espace comme un modèle alternatif de modèles pour les trajectoires des mouvements du bras. Nous définissons une classe spéciale de courbes, dites admissibles, sur lesquelles étudier le problème des géodésiques: nous fournissons une propriété de connectivité en termes de chemins admissibles et l'existence de minimiseurs de longueur normale. Les géodésiques admissibles sont utilisées comme modèle de trajectoires d'atteinte, trouvant une première validation à travers les trajectoires minimisant du Flash et Hogan