Échantillonnage optimal et réduction de modèle

This thesis is concerned, on the one hand, with the design of reduced order models that optimally approximate complex classes of functions, and on the other hand with the use of such reduced models to recover functions from a limited amount of measurements, in particular point evaluations. Part I of the thesis deals with two topics in linear and nonlinear reduced modeling. In Chapter 2, we construct linear reduced models for parametric elliptic PDEs with high contrast diffusion. We prove that exponential decay rates can be obtained in that setting with a linear reduced model, both for forward simulation and inverse problems, despite the degeneracy of the coefficients. In Chapter 3, we introduce a general framework for solving inverse problems with nonlinear reduced models, with a particular application to the reconstruction of piecewise smooth functions from cell-average data. Part II of the thesis adresses the ubiquitous problem of approximating a function from its values at some predefined sample points, with a focus on optimal random and deterministic selection strategies of such points. Chapter 4 investigates the numerical issues arising in handling the optimal sampling density, and proposes multistep algorithms to control the computational cost of the method, with a thorough analysis of the case of approximation by multivariate polynomials on general domains. In Chapter 5, we improve the randomized sampling strategy by reducing the sample size to the same order as the reduced model dimension. Chapter 6 studies a deterministic setting, through the assumption that the class of functions is included in the unit ball of a reproducing kernel Hilbert space. Finally, Chapter 7 progresses further in the randomized context, achieving a minimal oversampling ratio, which culminates in novel interpolation estimates.Cette thèse porte d’une part sur la conception de modèles réduits qui approchent optimalement des classes complexes de fonctions, et d’autre part sur l’utilisation de ces modèles réduits pour reconstruire des fonctions à partir d’un nombre limité de mesures, en particulier d’évaluations ponctuelles. La partie I de la thèse traite de deux thématiques en réduction de modèle linéaire et non linéaire. Dans le chapitre 2, nous construisons des modèles réduits linéaires pour des EDP elliptiques paramétriques avec diffusion à fort contraste. Nous prouvons qu’un taux de décroissance exponentiel peut être obtenu dans ce cadre avec un modèle réduit linéaire, à la fois pour la simulation directe et pour les problèmes inverses, et ce malgré la dégénérescence des coefficients. Dans le chapitre 3, nous introduisons un cadre général pour la résolution de problèmes inverses avec des modèles réduits non linéaires, avec en particulier une application à la reconstruction de fonctions régulières par morceaux à partir de valeurs moyennes sur chaque maille. La partie II de la thèse aborde le problème fondamental de l’approximation d’une fonction à partir de ses valeurs ponctuelles en des positions prédéfinies, en mettant l’accent sur les stratégies aléatoires et déterministes de sélection optimales de ces points. Le chapitre 4 étudie les problèmes numériques posés par la manipulation de la densité d’échantillonnage optimale, et propose des méthodes multi-niveaux de complexité algorithmique réduite, avec une analyse approfondie du cas de l’approximation par des polynômes multivariés dans des domaines généraux. Dans le chapitre 5, nous améliorons la stratégie d’échantillonnage aléatoire en ramenant la taille de l’échantillon au même ordre que la dimension du modèle réduit. Le chapitre 6 étudie un cadre déterministe, en supposant que la classe de fonctions est incluse dans la boule unité d’un espace de Hilbert à noyau reproduisant. Enfin, le chapitre 7 fait de nouvelles avancées dans le contexte aléatoire, en atteignant un ratio de sur-échantillonnage minimal, ce qui aboutit à de nouvelles estimées d’interpolation