Limite asymptotique du modèle de Landau-de Gennes pour les cristaux liquides autour d'une inclusion

Liquid crystals are a type of matter which share properties with both liquids and crystalline solids, i.e. the molecules of such materials can move but exhibit a positional and orientational order.One of the most remarkable characteristics is the formation of defect structures, in particular point and line singularities.In this work we use a version of the Landau-de Gennes model for nematic liquid crystals with an external magnetic field to describe the Saturn ring effect around an immersed particle.In an asymptotic regime where both point and line singularities occur, we derive an effective energy describing the formation and transition between different singularities.The first chapter deals with the physically relevant case of a spherical particle.After a rescaling of the physical energy, a limit energy in the sense of Gamma-convergence, stated on the particle surface, is derived.Studying the limit problem, we explain the transition between the dipole and Saturn ring configurations and the occurrence of a hysteresis phenomenon.In the second chapter we consider the general case of an arbitrary closed and sufficiently smooth particle.In contrast to spherical (or more general convex) particle, we obtain an additional term in the limit energy, showing quantitatively that the close-to-minimal energy is asymptotically concentrated on lines and surfaces nearby or on the particle.We also discuss regularity of minimizers and optimality conditions for the limit energy.The third chapter is dedicated to the numerical investigation of the limit energy and the development and implementation of adapted numerical methods.We verify the results of the first chapter for the sphere and then study the defect structures in the case of a peanut and croissant-like particle.Les cristaux liquides sont des matériaux avec des propriétés intermédiaires entre celles des liquides et des solides cristallins, c'est-à-dire les molécules peuvent se déplacer mais montrent un ordre de position et d'orientation.L'une de leurs caractéristiques les plus remarquables est la formation naturelle de structures de défauts, en particulier des singularités ponctuelles ou en lignes.Dans ce travail on considère une version du modèle de Landau-de Gennes pour les cristaux liquides nématiques avec un champ magnétique externe modélisant l'effet de l'anneau de Saturne autour d'une particule immergée.Dans un régime asymptotique où les singularités ponctuelles et de lignes se produisent, nous dérivons une énergie effective décrivant la formation et la transition entre les différentes singularités.Le premier chapitre porte sur le cas physiquement le plus intéressant d'une particule sphérique.Après une remise à l'échelle de l'énergie physique, une énergie limite au sens de la Gamma-convergence, énoncée à la surface de la particule, est dérivée.En étudiant le problème limite, nous expliquons la transition entre la configuration du dipôle et de l'anneau de Saturne et l'apparition d'un phénomène d'hystérésis.Dans le deuxième chapitre, nous considérons le cas général d'une particule quelconque fermée et suffisamment lisse.Contrairement à une particule sphérique (ou plus générale convexe), nous obtenons un terme supplémentaire dans l'énergie limite, montrant quantitativement que l'énergie proche du minimum est asymptotiquement concentrée sur des lignes et des surfaces proches de la particule voire collées à sa surface.Nous discutons également la régularité des minimiseurs et les conditions d'optimalité de l'énergie limite.Le troisième chapitre est consacré à l'étude numérique de l'énergie limite et au développement et à la mise en œuvre de méthodes numériques adaptées.Nous vérifions les résultats du premier chapitre pour la sphère, puis nous étudions les structures de défauts dans le cas d'une particule en forme de cacahuète ou de croissant