Superfluid and antiferromagnetic phases in ultracold fermionic quantum gases

In this thesis several models are treated, which are relevant for ultracold fermionic quantum gases loaded onto optical lattices. In particular, imbalanced superfluid Fermi mixtures, which are considered as the best way to realize Fulde-Ferrell-Larkin-Ovchinnikov (FFLO) states experimentally, and antiferromagnetic states, whose experimental realization is one of the next major goals, are examined analytically and numerically with the use of appropriate versions of the Hubbard model.rnrnThe usual Bardeen-Cooper-Schrieffer (BCS) superconductor is known to break down in a magnetic field with a strength exceeding the size of the superfluid gap. A spatially inhomogeneous spin-imbalanced superconductor with a complex order parameter known as FFLO-state is predicted to occur in translationally invariant systems. Since in ultracold quantum gases the experimental setups have a limited size and a trapping potential, we analyze the realistic situation of a non-translationally invariant finite sized Hubbard model for this purpose. We first argue analytically, why the order parameter should be real in a system with continuous coordinates, and map our statements onto the Hubbard model with discrete coordinates defined on a lattice. The relevant Hubbard model is then treated numerically within mean field theory. We show that the numerical results agree with our analytically derived statements and we simulate various experimentally relevant systems in this thesis.rnrnAnalogous calculations are presented for the situation at repulsive interaction strength where the N\u27eel state is expected to be realized experimentally in the near future. We map our analytical results obtained for the attractive model onto corresponding results for the repulsive model. We obtain a spatially invariant unit vector defining the direction of the order parameter as a consequence of the trapping potential, which is affirmed by our mean field numerical results for the repulsive case. Furthermore, we observe domain wall formation, antiferromagnetically induced density shifts, and we show the relevant role of spin-imbalance for antiferromagnetic states.rnrnSince the first step for understanding the physics of the examined models was the application of a mean field approximation, we analyze the effect of including the second order terms of the weak coupling perturbation expansion for the repulsive model. We show that our results survive the influence of quantum fluctuations and show that the renormalization factors for order parameters and critical temperatures lead to a weaker influence of the fluctuations on the results in finite sized systems than on the results in the thermodynamical limit. Furthermore, in the context of second order theory we address the question whether results obtained in the dynamical mean field theory (DMFT), which is meanwhile a frequently used method for describing trapped systems, survive the effect of the non-local Feynman diagrams neglected in DMFT.In dieser Dissertation werden unterschiedliche, f"ur ultrakalte fermionische Quantengase relevante Modelle behandelt. Insbesondere suprafluide Fermi-Mischungen mit Spin-Ungleichgewicht, die als beste M"oglichkeit zur experimentellen Verwirklichung von Fulde-Ferrell-Larkin-Ovchinnikov (FFLO)-Zust"anden in Betracht kommen, und antiferromagnetische Zust"ande, deren experimentelle Herstellung eines der gr"o{ss}ten Ziele der n"achsten Zeit ist, werden analytisch und numerisch unter Benutzung verschiedener Varianten des Hubbard-Modells untersucht.rnrnDer herk"ommliche Bardeen-Cooper-Schrieffer (BCS) Supraleiter bricht in einem Magnetfeld mit einer St"arke, die gr"o{ss}er ist als seine suprafluide L"ucke, zusammen. Ein r"aumlich inhomogener Supraleiter mit einem Spin-Ungleichgewicht und einem komplexen Ordnungsparameter, bekannt als FFLO-Zustand, stellt sich in translationsinvarianten Systemen ein. Da ultrakalten Quantengasen eine kleine Systemgr"o{ss}e und ein Fallenpotential zugrundeliegen, untersuchen wir zu diesem Zweck die realistische Situation eines nicht translationsinvarianten Hubbard-Modells mit beschr"ankter Sytemgr"o{ss}e. Wir argumentieren zuerst analytisch in einem System mit kontinuierlichen Ortskoordinaten, warum der Ordnungsparameter eine reelle Gr"o{ss}e sein sollte und bilden diese Ergebnisse auf ein Hubbard-Modell mit diskreten, auf einem Gitter definierten, Ortskoordinaten ab. Das relevante Hubbard-Modell wird dann in Molekularfeldn"aherung numerisch behandelt. Wir zeigen, dass unsere numerischen Ergebnisse zur analytischen Voraussage passen und simulieren verschiedene experimentell relevante Modelle in dieser Dissertation.rnrnAnaloge Rechnungen werden f"ur die Situation bei absto{ss}ender Wechselwirkung pr"asentiert. F"ur diesen Fall wird in naher Zukunft das Gelingen der experimentellen Herstellung eines N\u27eel-Zustandes erwartet. Wir bilden unsere analytischen Ergebnisse f"ur das Modell mit anziehender Wechselwirkung auf entsprechende Resultate f"ur das Modell mit absto{ss}ender Wechselwirkung ab. Dabei erhalten wir als Konsequenz des Fallenpotentials einen nicht von den Ortskoordinaten abh"angigen Einheitsvektor, der "uber das gesamte System parallel zum antiferromagnetischen Ordnungsparameter steht. Dieser wird auch durch unsere numerischen Ergebnisse best"atigt. Dar"uber hinaus beobachten wir die Bildung von Dom"anengrenzen und antiferromagnetisch induzierter Ver"anderung von Teilchendichten. Ferner zeigen wir die relevante Rolle, die Spin-Ungleichgewicht in antiferromagnetischen Systemen spielt.rnrnDa der erste Schritt zum Verstehen der untersuchten Modelle die Anwendung der Molekularfeldn"aherung war, analysieren wir auch die durch Quantenfluktuationen entstehenden Effekte durch die Hinzunahme der zweiten Ordnung der St"orreihe bei absto{ss}ender Wechselwirkung. Wir zeigen, dass unsere Ergebnisse den Einflu{ss} der Fluktuationen "uberleben und dass die Renormierungsfaktoren f"ur Ordnungsparameter und kritische Temperaturen bei kleinen Systemen zu einem geringeren Einflu{ss} f"uhren als im thermodynamischen Limes. Au{ss}erdem stellen wir die Frage, ob Ergebnisse, die in der mittlerweile zur Beschreibung von Fallensystemen "ublich gewordenen Dynamischen Molekularfeldtheorie (DMFT) erhalten worden sind, die nicht-lokalen Effekte, die in DMFT vernachl"assigt werden, "uberleben