A dictionary of modular threefolds

The thesis deals with the modularity conjecture for three-dimensional Calabi-Yau varieties. This is a generalization of the work of A. Wiles and others on modularity of elliptic curves. Modularity connects the number of points on varieties with coefficients of certain modular forms. In chapter 1 we collect the basics on arithmetic on Calabi-Yau manifolds, including general modularity results and strategies for modularity proofs. In chapters 2, 3, 4 and 5 we investigate examples of modular Calabi-Yau threefolds, including all examples occurring in the literature and many new ones. Double octics, i.e. Double coverings of projective 3-space branched along an octic surface, are studied in detail. In chapter 6 we deal with examples connected with the same modular forms. According to the Tate conjecture there should be correspondences between them. Many correspondences are constructed explicitly. We finish by formulating conjectures on the occurring newforms, especially their levels. In the appendices we compile tables of coefficients of weight 2 and weight 4 newforms and many examples of double octics.Gegenstand der Arbeit ist die Modularitätsvermutung für dreidimensionale Calabi-Yau-Varietäten, eine Verallgemeinerung der von A. Wiles und anderen bewiesenen Taniyama-Shimura-Vermutung für elliptische Kurven. Sie besagt, dass die Anzahl von Punkten auf der Reduktion einer solchen Varietät über endlichen Körpern durch Koeffizienten gewisser Modulformen bestimmt wird. In Kapitel 1 stellen wir die Grundlagen über Arithmetik auf Calabi-Yau-Varietäten zusammen. Dies beinhaltet allgemeine Modularitätsresultate und Strategien für Modularitätsbeweise. In den Kapiteln 2, 3, 4 und 5 untersuchen wir viele Beispiele für modulare dreidimensionale Calabi-Yau-Varietäten. Wir geben einen Überblick über die vorhandene Literatur und konstruieren zahlreiche neue Beispiele. Besonders ausführlich behandeln wir doppelte Überlagerungen des dreidimensionalen projektiven Raumes, die entlang einer Fläche vom Grad 8 verzweigt sind (sogenannte Doppel-Oktiken). In Kapitel 6 stellen wir noch einmal dreidimensionale Calabi-Yau-Varietäten zusammen, die mit derselben Modulform in Verbindung gebracht werden können. Nach der Tate-Vermutung sollten zwischen ihnen Korrespondenzen bestehen. Wir geben in vielen Fällen solche Korrespondenzen explizit an. Anschließend formulieren wir mit Hilfe der gesammelten Daten erste Vermutungen über vorkommende Modulformen, insbesondere deren Stufen. In den Anhängen stellen wir Koeffizienten von Modulformen vom Gewicht 2 und 4 sowie Beispiele von bestimmten Doppel-Oktiken zusammen