Use of computer algebra in the calculation of Feynman diagrams

The increasing precision of current and future experiments in high-energy physics requires a likewise increase in the accuracy of the calculation of theoretical predictions, in order to find evidence for possible deviations of the generally accepted Standard Model of elementary particles and interactions. Calculating the experimentally measurable cross sections of scattering and decay processes to a higher accuracy directly translates into including higher order radiative corrections in the calculation. The large number of particles and interactions in the full Standard Model results in an exponentially growing number of Feynman diagrams contributing to any given process in higher orders. Additionally, the appearance of multiple independent mass scales makes even the calculation of single diagrams non-trivial. For over two decades now, the only way to cope with these issues has been to rely on the assistance of computers. The aim of the xloops project is to provide the necessary tools to automate the calculation procedures as far as possible, including the generation of the contributing diagrams and the evaluation of the resulting Feynman integrals. The latter is based on the techniques developed in Mainz for solving one- and two-loop diagrams in a general and systematic way using parallel/orthogonal space methods. These techniques involve a considerable amount of symbolic computations. During the development of xloops it was found that conventional computer algebra systems were not a suitable implementation environment. For this reason, a new system called GiNaC has been created, which allows the development of large-scale symbolic applications in an object-oriented fashion within the C++ programming language. This system, which is now also in use for other projects besides xloops, is the main focus of this thesis. The implementation of GiNaC as a C++ library sets it apart from other algebraic systems. Our results prove that a highly efficient symbolic manipulator can be designed in an object-oriented way, and that having a very fine granularity of objects is also feasible. The xloops-related parts of this work consist of a new implementation, based on GiNaC, of functions for calculating one-loop Feynman integrals that already existed in the original xloops program, as well as the addition of supplementary modules belonging to the interface between the library of integral functions and the diagram generator.Die Suche nach Hinweisen auf mögliche Abweichungen vom allgemein anerkannten Standardmodell der Elementarteilchen und ihrer Wechselwirkungen erfordert genaue theoretische Vorhersagen, um mit der steigenden Präzision der Experimente in der Hochenergiephysik Schritt halten zu können. Eine genauere Berechnung der experimentell messbaren Wirkungsquerschnitte von Streu- und Zerfallsprozessen erfolgt unmittelbar durch die Hinzunahme von Strahlungskorrekturen höherer Ordnung. Aufgrund der großen Anzahl an Teilchen und Wechselwirkungen im vollen Standardmodell wächst jedoch die Zahl der zu einem gegebenen Prozess in höheren Ordnungen beitragenden Feynman-Diagramme exponentiell an. Zudem macht das Auftreten von mehreren unabhängigen Massenskalen selbst die Berechnung einzelner Diagramme zu einer nicht trivialen Aufgabe, die bereits seit über zwei Jahrzehnten nur noch mit Hilfe von Computern zu bewältigen ist. Das Ziel des xloops-Projekts ist die Bereitstellung der notwendigen Werkzeuge, um solche Rechnungen so weit wie möglich zu automatisieren, einschließlich der Erzeugung aller beitragenden Diagramme und der Auswertung der resultierenden Feynman-Integrale. Letztere basiert auf den in Mainz entwickelten Verfahren zum systematischen Lösen von allgemeinen Ein- und Zweischleifen-Diagrammen durch Parallel-/Orthogonalraum-Methoden. Mit diesen Verfahren geht ein beträchtlicher Anteil an symbolischen Rechnungen einher. Konventionelle Computeralgebra-Systeme haben sich dabei während der Entwicklung von xloops als ungeeignet zur Implementierung herausgestellt. Aus diesem Grund wurde ein neues System namens GiNaC entworfen, das die objektorientierte Entwicklung von umfangreichen symbolischen Anwendungen direkt in der Programmiersprache C++ erlaubt. Dieses System, das neben xloops inzwischen auch für andere Projekte eingesetzt wird, stellt den Schwerpunkt der vorliegenden Arbeit dar. Die Umsetzung von GiNaC als C++-Bibliothek zeichnet es gegenüber anderen algebraischen Systemen aus. Unsere Ergebnisse zeigen, dass ein hocheffizienter symbolischer Manipulator mit objektorientierten Methoden realisiert werden kann, und dass eine feine Granularität an Objekten ebenfalls praktikabel ist. Im zweiten Teil dieser Arbeit wurden die Funktionen zur Berechnung von Einschleifen-Feynmanintegralen, die bereits im ursprünglichen xloops-Programm existierten, basierend auf GiNaC neu implementiert, sowie zusätzliche Module für die Schnittstelle zwischen der Bibliothek von Integralfunktionen und dem Diagramm-Generator hinzugefügt