Programmation par contraintes sur intervalles pour les systèmes dynamiques différentiels

This thesis is a part of the ANR CONTREDO project "Intervals and Contractors forDynamical Systems". The goal of this project is to develop methods for the guaranteedresolution of differential dynamical systems coupled with systems of constraints throughthe CODAC library.Trajectories are the variables of these systems of constraints and their domains arerepresented with tubes.When a contractor is associated to one or more constraints of these systems, it can reduce these tubes in order to compute thinner enclosures for the solutions of these systems. The main objective of this thesis is to study the existing methods for the guaranteed resolution of dynamical systems, then to build their associated contractors and integrate them to Tubex solve, one of the solvers of the CONTREDO project.The first step of this thesis consists in the formalisation of the dynamical systems asconstraint networks over tubes. A particular interest is given to Ordinary differentialequations (ODE) as well as existing ODE solvers (such as VNODE-LP,CAPD, Dynibex ...) dedicated to the guaranteed resolution of this type of equations.The second step consists in the design of a contractor for ordinary differential equationsbased on the different ODE solvers in order to solve problems such as initial valueproblems (IVP) or boundary value problems (BVP) involving intervals. This contractoris then added to the set of contractors of Tubex solve in order to improve its performances.Another solver dedicated to boundary value problems is also developed using the ODEContractor. Then the results obtained with this solver are compared to those obtained with Tubex solve.Finally, the last step of this thesis consists in using the ODE-Contractor for the validationof capture tubes for systems such as differential games of the type "homicidal chauffeur".Capture tubes are represented by temporal sets such that when a trajectory of a dynamical system is inside this kind of tubes, the trajectory has no way to escape from it. These sets are difficult to obtain in practice, and are replaced by quasi capture tubes.Quasi capture tubes are easier to obtain, however, they might let a few trajectories escape, contrary to capture tubes where the all the trajectories belong for ever.The idea of quasi capture tubes is that when a trajectory escapes, it should comes back to the quasi capture tube after a finite time.The ODE Contractor has an important role for the quasi capture tube validation, as it used to prove that the escaping trajectories return back to the quasi capture tube after a finite time.Cette thèse s’inscrit dans le cadre du projet ANR CONTREDO “Intervalles et contracteurs pour les systèmes dynamiques”. Le but de ce projet est de développer des outils de résolution garantie de systèmes dynamiques différentiels couplés avec des systèmes de contraintes. Ce développement se fait à l’aide de la bibliothèque CODAC.Les trajectoires sont les variables de ces systèmes de contraintes, et leurs domaines sont représentés par des tubes.Des opérateurs de contraction sont associés à une ou plusieurs contraintes du système pour permettre de réduire ces tubes et filtrer l’espace des solutions. Intégrés à un processus de recherche combinatoire, ces contracteurs permettent de calculer l’ensemble des solutions.L’objectif principal de la thèse est d’étudier les méthodes existantes pour la résolution garantie de systèmes dynamiques, puis de définir les contracteurs différentiels correspondants et les intégrer à Tubex solve, un des solveurs du projet CONTREDO.La première étape de cette thèse porte sur la formalisation des systèmes dynamiquessous formes de systèmes de contraintes sur des tubes. Un intérêt particulier est porté auxéquations différentielles ordinaires (EDO) ainsi que l’étude des outils logiciels existantspour la résolution garantie de ce type d’équations (tels que VNODE-LP, CAPD, Dynibex … ).Une deuxième étape porte sur la réalisation d’un contracteur d’équations différentiellesordinaires appelant ces différents outils ainsi que son intégration dans Tubex solve. Celapermet l’utilisation de ces outils pour résoudre des EDO telsque les problèmes avecconditions initiales (IVP) et conditions aux limites (BVP).Cette intégration permet d’améliorer grandement les performances de Tubex solve, le solveur de la bibliothèque C++ Codac développée par S. Rohou dans sa thèse pour le projet CONTREDO.Un autre solveur dédié à la résolution de BVP a aussi été développé. Celui-ci a été appeléIBVP solve et utilise la "shooting method" avec le contracteur d’EDO pour trouver des solutions pour les BVP. Les résultats obtenus sont ensuite comparés aux résultats de Tubex solve.Enfin, une dernière étape porte sur l’utilisation du contracteur d’EDO afin de validerdes tubes de capture pour des systèmes tels que les jeux différentiels de type “problèmedu chauffeur homicide”.Les tubes de capture sont des ensembles temporels tels que si une trajectoire du système se trouve à l’intérieur, celle-ci ne peut plus s’en échapper. Comme il est difficile pour l’utilisateur de définir un tube de capture candidat, qui peut avoir une forme complexe, une approche alternative lui permet de définir un tube de quasi-capture candidat, dont la forme est plus simple, et qui permet de laisser des trajectoires s’échapper, avant de les capturer à nouveau avant un temps limite.Cette méthode a notamment pu être validée sur divers exemples