Estimation bayésienne des paramètres du spectre multifractal multivarié pour le traitement du signal et des images

L'analyse multifractale est devenue un outil de référence pour le traitement des signaux et des images. Fondée sur la quantification des fluctuations de la régularité locale, elle s'est avérée utile dans un nombre croissant d'applications, qui ne concernaient pourtant jusqu'à présent que des données univariées (séries temporelles à valeurs scalaires ou images acquises dans une seule bande spectrale). Récemment, les bases théoriques de l'analyse multifractale multivariée ont été élaborées, montrant un potentiel pour quantifier les dépendances entre plusieurs collections de données allant au-delà de la corrélation linéaire. Cependant, l'estimation précise des paramètres associés à un modèle multifractal multivarié reste un défi, limitant sévèrement leur utilisation réelle dans les applications. L'objectif principal de cette thèse est de proposer et d'étudier des méthodes d'analyse multifractale multivariée pour le traitement du signal et des images. Plus précisément, l'approche proposée s'appuie sur un nouveau modèle Gaussien multivarié adapté au logarithme des coefficients dominants d’ondelettes. Ce modèle utilise une approximation de la vraisemblance basée sur les résultats de Whittle et une augmentation de données pour les paramètres d'intérêt à valeurs matricielles. Ce modèle permet de construire des procédures d'estimation efficaces pour deux choix pertinents de lois a priori dans un contexte d'inférence Bayésienne. Des algorithmes basés sur des stratégies de Monte Carlo par chaines de Markov et d’Expectation-Maximization sont conçus et utilisés pour calculer les estimateurs bayésiens. Des simulations de Monte Carlo, réalisées sur des images et des signaux synthétiques multivariés avec différentes tailles d'échantillon, différents nombres de composantes et différents jeux de paramètres, montrent des améliorations significatives des performances par rapport à l'état de l'art. En outre, des limites inférieures théoriques sur la variance des estimateurs sont déterminées pour étudier le comportement asymptotique de ces estimateurs. Enfin, la pertinence du cadre d'estimation multifractale multivariée proposé est démontrée par l’application à deux exemples de données réelles : la détection de la somnolence à partir de signaux physiologiques multicanaux et l'imagerie satellitaire multispectrale.Multifractal analysis has become a reference tool for signal and image processing. Grounded in the quantification of local regularity fluctuations, it has proven useful in an increasing range of applications, yet so far involving only univariate data (scalar-valued time series or single channel images). Recently the theoretical ground for multivariate multifractal analysis has been devised, showing potential for quantifying transient higher-order dependence beyond linear correlation among collections of data. However, the accurate estimation of the parameters associated with a multivariate multifractal model remains challenging, severely limiting their actual use in applications. The main goal of this thesis is to propose and study practical contributions on multivariate multifractal analysis of signals and images. Specifically, the proposed approach relies on a novel and original joint Gaussian model for the logarithm of wavelet leaders and leverages on a Whittle-based likelihood approximation and data augmentation for the matrix-valued parameters of interest. This careful design enables efficient estimation procedures to be constructed for two relevant choices of priors using Bayesian inference. Algorithms based on Monte Carlo Markov Chain and Expectation Maximization strategies are designed and used to approximate the Bayesian estimators. Monte Carlo simulations, conducted on synthetic multivariate signals and images with various sample sizes, numbers of components and multifractal parameter settings, demonstrate significant performance improvements over the state of the art. In addition, theoretical lower bounds on the variance of the estimators are designed to study their asymptotic behavior. Finally, the relevance of the proposed multivariate multifractal estimation framework is shown for two real-world data examples: drowsiness detection from multichannel physiological signals and potential remote sensing applications in multispectral satellite imagery