Contribution à la discrétisation des différentiateurs par modes glissants

Ce travail vise à concevoir des algorithmes en temps discret permettant d’estimer les dérivés successives d’un signal bruité. Dans un premier temps, nous avons introduit et analysé une réalisation explicite et implicite en temps discret du différenciateur homogène en temps continu. Le différenciateur implicite en temps discret n’est pas anticipatif et repose sur une estimation de l’unique racine positive d’un polynôme, qui dépend des états et de l’entrée du système. La stabilité de ces réalisations est étudiée en utilisant la notion d’homogénéité. Une implémentation efficace est également proposée pour réduire la complexité temporelle de l’algorithme. Dans un second temps, nous avons introduit et analysé des réalisations explicites et implicites pour le différenciateur filtré exact robuste en temps continu. Une version explicite, basée sur la discrétisation exacte des systèmes linéaires avec un bloqueur d’ordre zéro, est introduit. Cependant, la présence de termes d’ordre élevé dans la dynamique du filtre peut provoquer une instabilité de l’erreur d’estimation pour les signaux avec des dérivées non bornées. Par conséquent, une version modifiée est proposée, visant à supprimer cet inconvénient. Sur la base de ce schéma, une version implicite est dérivée. On montrera, en utilisant la propriété d’homogénéité, qu’après un temps fini, les différenciateurs explicites et implicites en temps discret préservent la précision de celui en temps continu malgré la présence de bruit de mesure. Sur la base de ces résultats, un contrôleur basé sur le différentiateur filtré est élaboré en utilisant les mesures bruitées et échantillonnées. Une analyse de la stabilité en boucle fermée est fournie pour un système de type chaîne d’intégrateurs avec mesures échantillonnées et bruitées. Des résultats de simulation sont effectués pour comparer les méthodes de discrétisation proposées avec d’autres schémas existants pour mettre en évidence, par exemple, ses avantages en termes de précision lorsque des périodes d’échantillonnage relativement grandes sont considérées. Une validation expérimentale est réalisée sur le convertisseur abaisseur de tension DC-DC.This work aims to design discrete-time realization to estimate the successive time derivatives of a noisy signal. Explicit and implicit realizations in discrete-time of the continuous-time homogeneous differ-entiator are introduced and analyzed. The discrete-time implicit differentiator is non anticipative and relies on an estimate of the unique positive root of a polynomial, which depends on the states and the input of the system. The stability of these realizations is studied using the notion of homogeneity. An efficient implementation is also proposed to reduce the time complexity of the implicit version. Secondly, we introduced and analyzed explicit and implicit realizations for the continuous-time robust exact filtering differentiator. An explicit version, based on the exact discretization of linear systems with a zero order hold, is introduced. However, the presence of high order terms in the filter dynamics can cause instability of the estimation error for signals with unbounded derivatives. Therefore, a modified version is proposed, aimed at eliminating this drawback. Based on this scheme, an implicit version is derived. It is shown, using the property of homogeneity, that after a finite time, the explicit and implicit realizations preserve the accuracy of the continuous counterpart despite the presence of measurement noise. Based on these results, a controller based on the filtered differentiator is built using the sampled noisy measurements. A closed-loop stability analysis is provided for a chain-of-integrators system with sampled and noisy measurements. Simulation results are performed to compare the proposed discretiza-tion methods with other existing schemes to highlight, for instance, its advantages in terms of accuracy when relatively large sampling periods are considered. An experimental validation is carried out on the DC-DC buck converter