A computer-based algorithmic approach to the study of automorphism groups, orbits of smooth rational curves, unirationality and projective models of K3 surfaces

Les objectifs initialement fixés pour cette thèse consistaient à déterminer les groupes d'automorphismes ainsi que des bornes supérieures sur le nombre d'orbites de courbes rationnelles sur les surfaces K3 appartenant à la famille des surfaces ayant un groupe de Néron-Severi isomorphe au réseau entier avec matrice de Gram diag(2t,-2,-2), où le paramètre entier t est compris entre 1 et 50, par rapport à une base fixée. Nous avons pour cela mis l'outil informatique au service des mathématiques fondamentales en implémentant des solutions algorithmiques tirant parti d'outils modernes et variés. Les programmes qui ont découlé de cette démarche nous ont non seulement permis de mener une étude complète de ces surfaces en calculant explicitement leurs automorphismes, orbites de (-2)-courbes sous l'action de ces derniers, modèles projectifs, unirationalité des espaces des modules, dépassant ainsi largement notre objectif initial d'étude, mais ont aussi un champ d'application allant bien au-delà de ces surfaces. Depuis le début de cette thèse, nous avons en effet été motivés par la volonté de toujours dépasser les cas particuliers et spécificités afin de produire des solutions ayant une portée généraliste assumée. Notre entreprise a ainsi résulté en la production de nombreuses solutions mettant l'outil informatique au service de la géométrie algébrique et des surfaces K3 qui, nous l'espérons, ouvriront de nouvelles perspectives d'étude pour ces dernières. Nous tenons à mentionner que tous les programmes réalisés pendant cette thèse sont accessibles via K3surfaces.com et que leur utilisation y est expliquée en détailsThe initial aim of this thesis consisted in determining automorphism groups and upper bounds on the number of orbits of smooth rational curves on surfaces in the family of K3 surfaces having a Néron-Severi group isomorphic to the lattice with Gram matrix diag(2t,-2,-2), where the integer parameter t is assumed to range between 1 and 50, with respect to a fixed basis. To this end, we put computer science at the service of pure mathematics and implemented various computer-based algorithmic solutions that take advantage of a wide array of tools and modern techniques. These solutions not only enabled us to perform a complete study of the family of K3 surfaces mentioned above by determining projective models, computing automorphism groups, studying the orbits of smooth rational curves, and discussing the unirationality of their moduli spaces, hence enabling us to provide results far exceeding the objectives which had been set for this thesis but also turn out to have a framework of application which goes far beyond the family of surfaces mentioned earlier. From the outset of this thesis, we indeed had in mind to develop solutions with a broad scope of application. This endeavor resulted in the production of many computer-based solutions for the study of K3 surfaces that will hopefully open up new perspectives and help popularize even more the field of study of K3 surfaces. Please note that all programs produced during this thesis are released in public access: All computer-based solutions produced during this thesis are detailed and available for download on K3surfaces.co