Explicit calculation of conjugated bevel gears through the law of spherical gearing

Die Herstellung von Kegelrädern erfolgt traditionell mit Spezialwerkzeugen. Durch die aus dem Herstellungsprozess resultierenden Zwangsbedingungen müssen Einschränkungen an die Abrollgeometrie der Zahnräder in Kauf genommen werden. Die Freiformherstellung mittels Universalmaschinen ermöglicht es dagegen erstmals mit einer hinreichenden Genauigkeit eine beliebige Zahnradgeometrie zu erzeugen. Es stellt sich nun ganz natürlich die Frage nach einer vollständigen geometrischen Analyse der Abrollung und einer darauf aufbauenden expliziten Berechnung der Verzahnungsprofile. In dieser Arbeit wurde ein explizites Berechnungsverfahren für kugelkonjugierte Kegelradverzahnungen hergeleitet. Durch die geometrische Analyse des Abrollverhaltens konnten die Berechnungsverfahren von Stirnradpaaren auf Kegelradpaare übertragen werden. Dafür wurde das aus der Geometrie bekannte sphärische Verzahnungsgesetz in eine analytische Darstellung gebracht, die analog zum ebenen Verzahnungsgesetz ermöglicht, konjugierte Profilpaare explizit zu berechnen. Insbesondere bildet die bekannte Stirnradberechnung einen Grenzfall der entwickelten Kegelradberechnung. Die Kreisevolventenverzahnung, der Standard bei Stirnradverzahnungen, konnte dadurch auf die Kugelevolventenverzahnung im Kegelradfall übertragen werden. Darüber hinaus wurde die Übertragung von Zahnflanken in ein CAD/CAM-Programm untersucht. Es konnten mehrere Verfahren hergeleitet werden, welche es ermöglichen zwischen der Komplexität der Berechnung und der Genauigkeit der Geometrie zu variieren. Das genaueste Verfahren ist eine neu entwickelte Methode zur Hermite-Interpolation mittels NURBS-Flächen. Die Besonderheit des Verfahrens stellt die automatische Festlegung der Gewichte dar, die in diesem Fall nicht wie üblich vorher festgelegt werden, sondern zusammen mit den Kontrollpunkten aus der Lösung eines Optimierungsproblems resultieren.Traditionally, the geometry of bevel gears is determined by the constraints of the underlying production process. Using 5-axes-CNC-machines with universal tools instead of the traditional specialized tools, namely rotating cutting heads, we are able to produce any given geometry. This immediately leads to the question of a complete geometrical analysis of the meshing and an explicit calculation of the tooth profiles. In this work we develop a method for the explicit calculation of spherical conjugated tooth profiles based on the spherical geometry of a bevel gear system. We therefor generalize the law of planar gearing for spur gears to a law of spherical gearing for bevel gears. The analytic formulation of this law is equivalent to a known formulation in geometry, but enables us to give explicit equations for tooth profiles like the spherical involute, the analogue of the involute gear. We use the standard compatible geometry format IGES to import this geometry into a CAD/CAM-Program. To that end we approximate the tooth flank with a NURBS-surface. Since we especially need high precision in the first derivative, we create a novel method for Hermite interpolation by generalizing a known method for Lagrange interpolation, which determines the control points of the NURBS-function as well as its weights