Introduction to Analytic Number Theory

Esse trabalho trata de noções fundamentais de Teoria Analítica dos Números, cobrindo tópicos como funções aritmética e algumas propriedades, exemplos de funções aritméticas relevantes para a teoria dos números, além de funções especiais como zeta de Riemann, gama e do número harmônico. No trabalho, foram enunciados teoremas e identidades relevantes para a análise de comportamento assintótico de funções aritméticas como a Identidade de Abel e Soma de Euler, usando dos conceitos da constante e Euler-Masheroni generalizada e das notações Big-O. Usando propriedades de grupos, o conceito de Caráter é introduzido com suas propriedades. Para funções aritméticas periódicas, enunciamos o teorema da interpolação de Lagrange, as expansões finitas de Fourier, as somas de Ramanujan e as somas de Gauss. Na sequência, tratamos das séries de Dirichlet, seus semiplanos de convergência, sua forma exponencial e valor médio. Entao discutimos as funções L de Dirichlet e zeta de Hurwitz com objetivo de estender analiticamente a função zeta de Riemann, culminando nos números de Bernoulli. Por fim, introduzimos uma forma não convencional de definir derivação em funções aritméticas, denominada derivação discreta. Nesse tópico, propomos métodos para encontrar fórmulas fechadas para somas finitas e convergência para limites complicados, além de definir somas indefinidas e uma notação diferente para potências. Tal notação nos permitiu usar propriedades de derivação similares as do cálculo convencional, mas aplicados a somatórios, parecendo promissor.In this work, the authors present a comprehensive introduction to the fundamental concepts of number theory. The topics covered include arithmetic functions and their interesting properties, examples of arithmetic functions relevant to number theory, and special functions such as Riemann’s zeta, the gamma function, and the harmonic number. The authors then delve into a set of theorems and identities that allow the analysis of the asymptotic behavior of arithmetic functions, including Abel’s Identity and Euler’s Sum, using the concepts of generalized Euler-Masheroni’s constant and Big-O notations. They also introduce the concept of Characters, including their properties, by taking advantage of group properties. For periodic arithmetic functions, the authors present Lagrange’s interpolation theorem, finite Fourier expansions, and the Ramanujan and Gauss sums. Additionally, they introduce Dirichlet’s series, covering topics such as the semi-plan of convergence, exponential formulation, and mean value. The authors then introduce Hurwitz’s zeta and Dirichlet L functions, driving the definition of Bernoulli’s numbers and polynomials, to cover the analytical extension of Riemann’s zeta. Finally, the authors present an unconventional way of defining derivation in arithmetic functions, called discrete derivation. In this topic, they propose methods to find closed formulas for finite and infinite sums, evaluate complicated limits, and introduce indefinite sums and a different notation for powers. This notation shows promising properties, creating a similarity to conventional calculus, but applied to summations.Não recebi financiament