Undecidability problems and diophantine sets over polynomial rings and function fields

In dit proefschrift bewijzen we het negatieve antwoord op Hilberts tiende probleem voor rationale functievelden in één variabele over een p-adisch veld. Wat betreft de sterkere DPRM-stelling, bewijzen we dat recursief opsombare verzamelingen diophantisch zijn voor de veeltermring in één variabele over bepaalde algebraïsche uitbreidingen van de rationale getallen. Oorspronkelijk formuleerde Hilbert zijn tiende probleem voor de gehele getallen. Hij vroeg of er een algoritme bestaat, met als input een veelterm over de gehele getallen in een willekeurig aantal variabelen, dat beslist of de gegeven veelterm een oplossing in de gehele getallen heeft of niet. Matiyasevich bewees, verder bouwend op werk van Davis, Putnam en Robinson, dat recursief opsombare verzamelingen in de gehele getallen diophantisch zijn (DPRM-stelling). Dit had als gevolg het negatieve antwoord op Hilberts tiende probleem, dus zo'n algoritme bestaat niet. Dit proefschrift kadert in het onderzoek naar Hilberts tiende probleem en de DPRM-stelling voor andere ringen en velden