The use of numerical methods for solving equations and perspectives for curriculum integration in high school

Dissertação de mestrado em Ciências – Formação Contínua de Professores (área de especialização em Matemática)Esta dissertação realiza-se no âmbito do Mestrado em Ciências (Formação Contínua de Professores) cujo público-alvo são sobretudo os professores do Ensino Secundário que desejem aprofundar conhecimentos e desenvolver competências com vista a uma melhoria do seu desempenho como professores. Em função da experiência profissional do autor e da pesquisa bibliográfica realizada percebeu-se que o trabalho com o cálculo numérico pode ter um grande potencial na formação matemática dos alunos nos anos que antecedem a entrada num curso superior. Parece-nos de primordial importância confrontar os alunos em fase final do Ensino Secundário com problemas que não podem ser resolvidos por fórmulas exatas e sensibilizá-los para a importância dos métodos de cálculo aproximado. O tema de equações não lineares adequa-se completamente a este objetivo. Nos programas tradicionais os alunos aprendem a usar a fórmula resolvente das equações polinomiais do 2º grau e também a regra de Ruffini se uma das raízes for de determinação fácil. Depois de aprendidas estas regras clássicas, devem os alunos ser confrontados com outras equações (polinomiais ou não) que mostrem a necessidade de outras ferramentas matemáticas e computacionais. Assim, este trabalho é uma reflexão sobre esta temática e inclui a apresentação de exemplos concretos da possibilidade de trabalho destas questões com alunos do Ensino Secundário. Do vasto leque de métodos numéricos que existem para a resolução de equações selecionamos apenas três (dos mais populares) que servem bem o objetivo de perspetivar a respetiva integração curricular no ensino não superior. São eles o método da bisseção, o método do ponto fixo e o método de Newton-Raphson. Para além do respetivo interesse intrínseco, estes métodos são também uma oportunidade para os alunos apreciarem uma aplicação muito concreta de conhecimentos matemáticos por eles já adquiridos (limites de sequências numéricas, o teorema de Bolzano, derivadas e o teorema do valor médio de Lagrange, entre outros). Para além disto, a implementação prática destes métodos também envolve capacidades que os alunos desenvolvem em unidades curriculares da área da informática. Uma questão fundamental na utilização dos métodos numéricos é a do controle dos erros. Os erros de arredondamento são inevitáveis porque a máquina de calcular (ou o computador) opera apenas com um número finito, embora grande, de números e com eles tem que representar todos os números reais (dentro de certos limites). Por outro lado, os erros propagam-se de diferentes maneiras em diferentes sequências de operações numéricas. Estes são temas complexos tratados em cursos superiores e é nosso entendimento que não deve ser tentado no ensino antes disso. No entanto, pode ser interessante dar aos alunos alguma informação sobre a representação de números em ponto flutuante, quer no sistema decimal quer no sistema binário, e mostrar com exemplos algumas consequências na precisão da aritmética computacional.This dissertation takes place within an MSc degree in Science which is tailored for those which are already professional teachers in high school but envisage to acquire further knowledge and skills that will, hopefully, help them in their teaching duties. In the light of the author’s teaching experience and the biographical research conducted, it was realized that working with numerical calculus may have great potential in mathematics education of students even before their entrance into higher education. In our opinion, it is of paramount importance to make the students, at a late stage of their high school learning, tackle problems that cannot be solved by exact formulae and raise their attention to the relevance of methods that provide numerical approximations. The topic of solving equations serves well such goal. In the traditional curricula students learn how to use the exact formula for the roots of quadratic equations and also Ruffini’s rule if they manage somehow to get one of the roots in the first place. But after this the students should be given other equations (not necessarily polynomial) that make evident the need of further mathematical and computational tools. Thus, this work aims to be a study on the subject and, in particular, we present examples of how these topics may be taught to high school students. From the large spectrum of numerical methods that exist for solving equations we selected only three (of the most popular) that are well in accordance with our goal of their inclusion in pre-university curricula. These are the bisection method, the fixed point iteration and Newton-Raphson’s method. Besides their own importance, these methods are also an opportunity for the students to see a very concrete application of mathematical knowledge that they should have learned before the use of numerical methods (limits of sequences of numbers, Bolzano’s theorem, derivatives and Lagrange’s mean value theorem, among others). Furthermore, the practical implementation of the methods also require skills that the students are expected to develop in curriculum units that belong to the area of information technology. A fundamental issue in using numerical methods is that of keeping the errors under control. Rounding errors are unavoidable because the calculator (or the computer) only stores a large but finite number of representations. Furthermore, the analysis of propagation of numerical errors belongs to advanced courses where the numerical stability of algorithms is studied and clearly no attempt should be made to treat such subject in high school. However, it may be useful to teach the students about the way numbers are represented in the calculator and in the computer, and show with examples some consequences on the precision of the computational arithmetic