Modeling, mathematical and numerical analysis of a vacuum breaker : implementation and numerical simulation

Tese de doutoramento em Ciências (ramo de conhecimento em Matemática)The PhD dissertation is dedicated to the mathematical modelling, the analysis of the continuous problem, the discretization using the finite element method and the numerical simulation coding in C++ of a medium voltage vacuum circuit breaker. We have to face a multi-physics problem involving nonlinear elasticity to describe the electrodes and the contact zone, electricity to evaluate the current flowing across the copper bodies and electromagnetism problem to evaluate the repulsive Laplace force. A circuit breaker is based on a simple principle. A spring presses down two copper bodies to maintain an electrical contact. The current flowing between the two electrodes is determined by the extension of the contact zone and generate Laplace force. Due to the geometrical characteristics of the electrodes, Laplace forces are opposite and create a repulsive force. When the intensity reaches a critical value, the forces separate the two electrodes and the circuit is breaking. From an engineering point of view, the equilibrium position and the contact area deriving from the balance between the spring constraint and the repulsive Laplace force is of critical importance. Such an equilibrium results from two mathematical sub-problems, namely, the mechanical problem and the electromagnetic problem. In consequence, the work is constituted of three parts: the mechanical part concerns the action of the spring and the Laplace volumic force to determine the final contact area. We have elaborated the model, studied its mathematical properties (existence and uniqueness), designed numerical discretizations based on the finite element method and carried out an implementation of the method to achieve numerical simulations. The second part deals with the electromagnetic aspect where we propose a bi-domain model separated with a common interface. We prove existence and uniqueness of the model, propose a finite element discretisation and at last carry out an implementation with numerical simulations. The last part is dedicated to the global problem where we propose a fixe point method to reach the equilibrium states. We justify the iterative process both at the continuous and the discrete levels. We end the third part with some numerical simulations which are of interest in the engineering context of the electromechanic problem.Esta disserta ção tem como objetivo a modela ção matemática, a análise do problema contínuo, a discretização usando o método dos elementos finitos e a simulação numérica implementada em C++, dum disjuntor de vácuo de média tensão. Este é um problema multifísico envolvendo elasticidade não linear, para descrever a zona de contacto entre os elétrodos, eletricidade, na avaliação da corrente que atravessa os elétrodos de cobre, e eletromagnetismo, para avaliar a força repulsiva de Laplace. O funcionamento dum disjuntor baseia-se num princípio muito simples, a saber: uma mola pressiona os elétrodos um contra o outro, por forma a garantir um contacto elétrico. A corrente que atravessa dum elétrodo ao outro é determinada pela medida da zona de contacto e gera uma força de Laplace. Devido às caraterísticas geométricas dos elétrodos, a força de Laplace tem sentidos opostos, em cada um dos elétrodos, provocando assim uma força de repulsão, conduzindo ao afastamento dos elétrodos, interrompendo o circuito quando a intensidade atinge um valor crítico. Do ponto de vista técnico, a posição de equilíbrio e a zona de contacto resultam do importante equilíbrio estabelecido entre as forças da mola e repulsiva de Laplace. Este equilíbrio resulta de dois subproblemas, nomeadamente: o problema mecânico e o problema eletromagnético. Consequentemente este trabalho foi dividido em três partes, a saber: Primeiro, a parte mecânica relativa à ação da mola e da força volúmica de Laplace, para determinar a medida final da zona de contacto. Aqui foi elaborado o modelo matemático, estudadas as suas propriedades (existência e unicidade de solução), estabelecida a discretização, usando o método de elementos finitos, e a correspondente implementação com vista à obtenção de resultados numéricos. Na segunda parte tratamos o modelo do problema eletromagnético formulado em dois domínios com uma fronteira comum. Nesta fase tratamos da existência e unicidade de solução, propomos uma discretização, usando o mé todo dos elementos finitos, e fazemos a respectiva implementação e simulação numérica. A terceira e última parte é dedicada à análise do problema global, onde propomos um método de ponto fixo, para atingir a posição de equilíbrio, justicando-o aos níveis contínuo e discreto. Esta parte é finalizada com simulações numéricas relevantes do ponto de vista técnico no contexto do problema eletromagnético