Chaîne de spins intégrable non compacte pour la théorie fishnet conforme

The fishnet theory was first obtained in four dimensions as a strongly twisted, weakly coupled limit of N = 4 super Yang– Mills before being extended to arbitrary dimension. It is a non-unitary theory of two complex matrix scalar fields interacting in such a manner that, in the planar limit, only very few Feynman graphs are allowed and, moreover, the bulk of these graphs must be a piece of a square lattice. As a consequence, the theory can be shown to be conformal and integrability naturally appears through a relation with a non-compact chain of spins in principal series representations of the conformal group. Certain classes of Feynman graphs can indeed be built from the repeated application of operators coinciding with conserved charges of the chain. The fishnet theory thus constitutes a rare and simple example of an integrable non-supersymmetric conformal field theory in arbitrary dimension. We present, in this thesis, the exact diagonalisation of the graph-building operators associated with the open spin chain. The eigenvectors have an interpretation as wave functions of multi-particle states in a mirror one-dimensional theory. Extracting the dispersion relation and the scattering matrix of these mirror particles allow us to formulate the thermodynamic Bethe ansatz equations for the conformal dimensions of a whole class of operators in the fishnet theory. As a first step towards a further simplification of this spectral problem, we develop the Q-system for integrable models with SO(2r) symmetry. We also obtain, for such models, new expressions for the transfer matrices, or T-functions, in terms of the Q-functions, thus quantising the classical Weyl formulae for characters.Avant d’être étendue à toute dimension, la théorie fishnet a d’abord été obtenue en quatre dimensions comme une limite de fort twist et de faible couplage de la théorie N = 4 super Yang–Mills. C’est une théorie non-unitaire de deux champs scalaires matriciels complexes interagissant d’une manière si restrictive que, dans la limite planaire, très peu de graphes de Feynman survivent. Il est alors possible de montrer que la théorie est conforme. En outre, l’intégrabilité apparaît naturellement à travers une relation avec une chaîne non-compacte de spins dans une représentation de la série principale du groupe conforme. Certaines classes de graphes de Feynman peuvent en effet être obtenues par l’application répétée d’opérateurs coïncidant avec des charges conservées de la chaîne de spins. La théorie fishnet constitue ainsi un exemple simple et rare d’une théorie conforme des champs intégrable sans supersymétrie en dimension arbitraire. Nous présentons, dans cette thèse, la diagonalisation exacte d’opérateurs associés à la chaîne de spins ouverte. Les vecteurs propres ont une interprétation en tant que fonctions d’onde d’états à plusieurs particules dans une théorie unidimensionnelle miroir. La détermination de la relation de dispersion et de la matrice de diffusion de ces particules miroir nous permet de formuler les équations de l’ansatz de Bethe thermodynamique pour les dimensions conformes d’une famille d’opérateurs dans la théorie fishnet. Dans l’intention de simplifier davantage ce problème spectral nous développons le système Q pour des modèles intégrables avec une symétrie SO(2r). Nous obtenons aussi, pour de tels modèles, de nouvelles expressions pour les matrices de transfert en termes des fonctions Q, quantifiant ainsi les formules classiques de Weyl pour les caractères