Transporte de fermiões de Dirac em grafeno

Dissertação de mestrado em Física de Materiais Avançados (ramo de conhecimento em Teoria e Métodos Computacionais em Física da Matéria Condensada)Nesta tese estudámos, teoricamente, diversos tipos de cadeias lineares e nanofitas de grafeno, com destaque para as propriedades ópticas deste material. O estudo analítico das cadeias lineares e das nanofitas foi efectuado à luz da teoria do electrão fortemente ligado, admitindo apenas amplitudes de salto entre primeiros vizinhos. No estudo numérico destes sistemas, procedeu-se quer a diagonalização completa do hamiltoniano, diagonalização numérica completa (DNC), quer a diagonalização usando um sub-espaço de Hilbert de dimensão reduzida, recorrendo ao método de Lanczos, a diagonalização numérica de Lanczos (DNL). Na primeira parte da tese foram estudadas as propriedades electrónicas de sistemas unidimensionais. O estudo das cadeias infinitas focou-se, primeiramente, no cálculo da dispersão de energia, dos estados próprios e da densidade de estados electrónicos, (density of states) (DOS). Foram estudadas dois tipos de cadeias lineares: com um único tipo de átomos, a que chamámos cadeias AA, e com dois tipos de átomos, a que chamámos cadeias AB. No caso das cadeias finitas, foi necessário impor diferentes tipos de condições fronteira das quais resultam diferentes tipos de regras de quantificação do número de onda. Considerámos, também, o efeito que potenciais externos têm nas funções de onda electrónica. Os tipos de potenciais externos estudados foram: potenciais de curto alcance; o potencial de Coulomb; configurações aleatórias de potenciais de curto alcance; e configurações periódicas de potenciais de curto alcance. No caso de um único potencial de curto alcance, calculámos a energia e a função de onda dos estados localizados, no limite de cadeias infinitas. Em todos os casos, comparámos os resultados analíticos com os resultados numéricos obtidos quer por DNC quer por DNL. Na segunda parte da tese, e recorrendo a conceitos estudados na primeira parte, investigámos as propriedades electrónicas de nanofitas de grafeno. Para efeitos de comparação das diferentes propriedades, estudámos analiticamente quer o sistema maciço quer as nanofitas de grafeno utilizando o modelo do electrão fortemente ligado modelo electrão fortemente ligado, (tight binding movdel ) (TBM). Para o sistema maciço calculámos a dispersão de energia e os estados próprios. Também, a partir da formulação do TBM derivámos o hamiltoniano de Dirac, na aproximação de baixa energia. A partir deste encontrámos as energias e as funções de onda, as quais têm um carácter spinoriais. Nas investigações das nanofitas, calculámos a quantificação do vector de onda e as funções de ondas. Focámos o nosso estudo nas nanofitas de tipo cadeiras de braços, pois estas permitem uma descrição analítica completa das suas propriedades electrónicas. Igualmente se discutiu a abertura de hiatos na dispersão de energia e calculou-se a respectiva DOS. Como uma aplicação dos estudos analíticos do espectro e das funções de onda das nanofitas de grafeno, calculou-se a condutividade óptica recorrendo à fórmula de Kubo. Previamente, apresentámos uma derivação desta fórmula para um sistema de partículas independentes, calculando a resposta a um campo eléctrico oscilante. No cálculo analítico da resposta óptica das nanofitas, derivámos explicitamente o elemento de matriz da velocidade, necessário ao cálculo posterior da condutividade. A partir da condutividade, discutimos a transmitância das nanofitas. Para comparação, calculámos a transmitância do sistema maciço, usando dois métodos distintos, a saber: a combinação da condutividade óptica com comportamento de um campo eléctrico numa interface metálica entre dois meios, recorrendo às condições de fronteira do campo eléctrico numa interface metálica; o cálculo da probabilidade de transmissão pela regra de ouro de Fermi, na aproximação do cone de Dirac, determinando deste modo o coeficiente de transmissão no regime de validade dessa aproximação.In this thesis we studied, theoretically, a large set of linear chains and grapheme nano-ribbons, having focused on the optical properties of the latter. The analytic study of these systems was based in the theory of the tight binding model (TBM), admitting only nearest neighbour interactions. For the numerical analysis of these systems we used two different methods, namely the complete numerical diagonalization and the diagonalization of a Hilbert sub-space of smaller dimension. The Hilbert sub-space is computed by the Lanczos method. In the first part of this thesis we studied the electronic properties of unidimensional systems. The study of infinite chains focused, primarily, at the calculation of the energy spectrum, eigenstates and density of states (DOS). Two different types of chains were studied: the first with only one type of atoms, which we have called AA chains and the second type, for linear chains with two distinct atoms, which we have called AB chains. In the case of definite chains, we imposed different sets of boundary conditions, which lead to different quantifications of the wavenumber. Also, we considered the effect of external potentials over the electron wave functions. We studied the effect of: short range potentials; Coulomb potential; random set of short range potentials; periodic set of short range potentials. In the case of the short range potential, we, analytically computed the energy and wave function of the localized states, in the limit of infinite chains. For all potentials, we compared the numerical results (using both numerical techniques) with the analytic solutions for the short range potential. In the second part of this thesis and making use of the concepts studied in the first part, we investigated the electronic properties of graphene nano ribbons. In order to compare different properties, we studied both the massive system and the nano-ribbons using the TBM. For the massive system, we calculated the energy spectrum and eigenstates. Also from the TBM, we derived the Dirac Hamiltonian in the low energy approximation. From this Hamiltonian, we calculated the energy spectrum for this region and its eigenstates, which are spinorial. The study of graphene nano-ribbons yielded, the quantification of the wavevector and the respective eigenstates. We focused our study on armchair nano-ribbons, since these allow a full analytic description of its electronic properties. Furthermore we discussed the energy gap and computed the DOS for the latter. As an application of the analytic study of the energy spectrum and eigenstates of nano-ribbons, we computed the optical conductivity using the Kubo formula. Primarily we presented a derivation of Kubo's formula for a system of independent particles, by computing the response to an external oscillating electric field. In the calculation of the optical response of nano-ribbons, we computed explicitly the velocity operator and its matrix element, which is required for the calculation of the conductivity. From the conductivity, we discussed the transmissivity of nanoribbons. In order to establish a comparison point, we computed the transmissivity for the massive system using two different methods, namely: the combination of the optical conductivity with the behaviour of an electric field within a metallic interface between two media; the calculation of the transmission probability by Fermi's golden rule, within the Dirac cone approximation, therefore computing the transmission coefficient for this region